Matematik Evrensel Dil mi Yoksa İnsan İcadı mı?

Matematik doğayı açıklayan evrensel bir dil mi, yoksa fizik biliminde doğayı açıklamak için kullandığımız bir araç mı? İki temel görüş var: Pisagorcular Eski Yunan zamanından beri matematiğin doğanın dili olduğunu düşünmüştür. Müzik, notalar ve altın oranı buna kanıt göstermiştir.

Oysa deneysel fizikçiler matematiğin sadece fizik problemlerini çözmeye yarayan bir araç olduğunu düşünüyor. Nitekim matematikle sonsuz sayıda evren tasarlanabilir ama biz tek evrende yaşıyoruz ve o da sonsuz değil. Matematikteki sonsuzluklar ile kusursuzluğu doğada ve gerçek hayatta görmüyoruz.

Matematik ve yapay zeka

Öyleyse yapay zeka ve süper zeki robotlar geliştirip doğru bilim yapmak için matematiğin evrensel dil mi, yoksa insan icadı tarihsel bir yapıntı mı olduğunu anlamak önemlidir. Biz de matematikteki ünlü P=NP? probleminden başlayarak Turing makineleri, bilgisayarlar, yapay zeka ve fizik teorileri bağlamında matematiğin gerçekte ne olduğunu görelim. Fizik, matematik felsefesi ve yapay zekada öngörülemezlik, karar verilemezlik ve hesaplanamazlık problemlerini inceleyelim.

İlgili yazı: Virüsler Canlı mı ve RNA Yaşamın kökeni mi?

 

Sümerlerde matematik

Başta P=NP? problemi olmak üzere, tarihte birçok problem matematiğin sınırlı gücü olduğunu gösterdi. Peki matematik fizik teoremleri için ne kadar alakalı ve yararlı? Bu yazıda fizik biliminde ve yapay zeka algoritmaları geliştirmekte matematiğin rolünü tartışacağız. Bütüncül bakış açısı kazanmak için bunları öngörülemezlik, karar verilemezlik ve hesaplanamazlık bağlamında ele alacağız.

Öyleyse basit başlayalım: Bugün matematikte Onlu Sayı Sistemini kullanıyoruz. Hatta Türklerin onun katlarıyla işleyen ordu sistemi tarihte meşhurdur (10 kişi bir manga ve 100 kişi bir bölük vb.).

Öte yandan Sümerler altmışlı sayı sistemiyle matematik yapıyordu. Peki Sümer matematiği yanlış da bizim onlu sayı sistemi kullanan matematiğimiz mi doğru? Tabii ki ikisi de doğru. Sonuçta altmışlı sayı sistemiyle de üçgen hesabı yapabilirsiniz. Gerçi bazı sayı sistemleri trigonometri gibi belli bazı alanlarda daha kullanışlı olabilir, ama kullanışlı olmak aslında matematiğin bir araç olduğunu gösteriyor:

Matematik doğayı anlamak için kullandığımız bir dil gibi görünüyor. Nasıl ki tencereye İtalyanca pentola desek de aynı tencereyi kastediyoruz matematikte de farklı sayı sistemleri kullanıyoruz. Örneğin Sümerler parmak hesabında kolaylık sağladığı ve uydumuz Ay ile mevsimlerin döngüsünden esinlenerek altmışlı sistemi kullandı. Bu durumda matematik evrensel mi, yoksa İtalyanca gibi tercihe bağlı herhangi bir dil mi?

İlgili yazı: Gerçek Adem: ilk insan ne zaman yaşadı?

 

Matematik kusursuz ve sonsuzdur

Doğa ise kusurlu ve sonludur. Bunu yapay zeka geliştirmekte kritik olan P=NP? problemiyle görelim. Problem basittir ve “Sonucunun kısa sürede doğrulanabileceğini kanıtladığımız bütün matematik problemlerini kısa sürede çözebilir miyiz?” diye sorar. Çözebiliyorsak matematik özünde sonludur, yok çözemiyorsak sonsuz ve kusursuzdur.

Matematik felsefesi açısından kusursuzluğu hemen aradan çıkaralım: Kusursuzluk kavramı zevkler ve renkler tartışılmaz misali kişiden kişiye değişebilir. Hem bu yüzden hem de belirli bir evrensel kusursuzluk parametresi belirleyebilsek bile doğanın buna ulaşması sonsuz zaman alacağı için matematik sonsuz ise aynı zamanda kusursuzdur. Peki matematik sonsuz mudur?

Bunun cevabı Turing makineleri (bilgisayar teorisi) için o kadar önemli ki Clay Matematik Enstitüsü’nün dağıttığı Binyılın Ödülü Problemlerine P=NP? problemi de eklendi ve bunu çözene 1 milyon dolar ödül verilecek. Biz de problemi günlük dille ortaya koyduk ama yapay zeka daha teknik bir dil kullanıyor:

Bir algoritma (Turing makinesi) matematik problemi çözmek gibi bir görevi polinomsal zamanda, yani sonlu sürede çözebilir mi? Bir problemi sonlu sürede çözmek mümkünse bu süreyi algoritmaya verilen girdi verisinin büyüklüğünün polinomsal fonksiyonu olarak hesaplarız. Öyleyse polinomsal süre üstel sürenin tersidir (üstel süre, problem çözme süresinin zorluk derecesine göre katlanarak artacağını gösterir).

En zorlu matematik problemi

Polinomsal sürede çözülebilecek bütün problemleri P kümesinde toplarız. Bazı sorular için bunun yanıtını en kısa sürede bulmak imkansızdır; ancak P problemlerini doğrulamak, yani sağlamasını yapmak daha kısa sürebilir! Biz de algoritmaların çözebileceği problemler içinde kısa sürede doğrulanabilenleri NP kümesinde toplarız (NP belirlenimci olmayan polinomsal süre demektir).

İlgili yazı: İlk Canlı ve Ortak Ata LUCA Ne Zaman Yaşadı?

 

Peki P=NP ne demek?

P eşittir NP, cevabını sonlu ve göreli kısa sürede doğrulayabileceğimiz bütün problemleri yine sonlu sürede çözebiliriz demektir. O zaman geleceğin süper zekası milyonlarca fizik probleminden oluşan bir kozmoloji (evrenbilim) kümesine bakacak ve bu problemleri çözmeden önce hangisini ne kadar sürede çözebileceğimizi tahmin edebilecektir (bunlar P kümesinde ise ve sonlu sürede çözülebiliyorsa).

Mesela “Kuantum kütleçekim kuramını geliştirmeniz bugünkünden 1000 kat hızlı bir süper bilgisayarda 30 yıl alır” diyebilecektir. Siz de bilgisayar geliştirme bütçesinden ürün ticarileştirmeye, sibergüvenlik risklerinden enerji verimliliğine ve küresel ısınmayı önlemeye kadar her alanda tedbirli VE planlı olursunuz. Bilgi güçtür ve o da öngörü kudreti ister!

Yok P, NP’ye eşit değilse (P ≠ NP) P problemlerini çözmek onları doğrulamaktan her zaman daha zordur. Bu durumda fizikte, matematik ve evrendeki bazı sorular hep yanıtsız kalacaktır; çünkü bunları yanıtlamak sonsuz zaman isteyecektir. Gerçi insanların sorabileceği bütün sorular da P problemi değildir; ama konuyu dağıtmamak için bunu ayrı bir yazıda ele alalım. Yine de yapay zekaya sorabileceğimiz en derin sorulara bilimkurgu edebiyatından iki kısa örnek verebiliriz:

Gelecekte Dünya boyundaki bir süper bilgisayara hayatın anlamı nedir diye sorduğunuzu düşünün. Bilgisayar bu yanıtı verene kadar insanların soyu tükenebilir. Belki de bilgisayar beklemekten sıkılıp haydi ışık olsun diyecek ve yeni bir evren yaratıp evren simülasyonu yaparak bu sorunun yanıtını arayacaktır. 😊 Asimov’un Son Soru öyküsü ve Ursula K. Le Guin’in 1966 tarihli Rocannon Dünyası romanındaki Ansible hiper kozmik bilgisayarına bakın. 😉

Özetin özeti

P=NP mi? sorusunun olumlu/olumsuz yanıtı bilgisayar teorisinin yanı sıra matematik, şifrebilim, algoritma bilimi, yapay zeka, oyun teorisi, blokzincir ile diğer dağıtık/merkezsiz sistemler, çoklu ortam işleme, matematik felsefesi ve finans-ekonomi alanlarını kökten değiştirecektir. Bu konuya hesaplanamazlık başlığında geri döneceğim; ama önce evrende kaç matematik var diye soralım:

İlgili yazı: Kodlama İçin En Gerekli 16 Programlama Dili

 

50 bin matematik ve aksiyom sistemi

Dünyanın halka açık ilk gerçek akıllı arama motoru Wolfram Alpha’yı (web arama motoru değil, onlar reklam aracıdır) geliştiren İngiliz fizikçi ve matematikçi Stephen Wolfram bir video söyleşisinde şunu söyledi: “İnsan mantığı evrende olası 50 bin aksiyom sisteminden sadece biridir. Wolfram Alpha için geliştirdiğim arama ve derleme algoritması 30 yılda 50 bin farklı aksiyom sistemi buldu. Biz insanlar bunlardan sadece birini kullanıyoruz: Formel mantık.”

Wolfram haklıysa matematik evreni anlamamızı sağlayan BİR dildir ama evrensel dil değildir. Matematik insanlık tarihinde kuşaklar boyunca peyderpey geliştirilmiş olan bir tarihsel yapıntıdır (konstrüksiyon). Wolfram haklıysa olası uzaylılarla Carl Sagan’ın Voyager sondalarıyla uzaya gönderdiği matematiksel mesajlarla bile anlaşamayabiliriz. Uzaylılar varsa mantığı bize tümden… uzaylı olabilir.

Peki Wolfram ne demek istiyor ve haklı mı? Önce kısa bilgi: Stephen Wolfram Caltech’ten birincilikle mezun oldu ve doktorasını da orada verdi. Sonra Wolfram Research şirketini kurarak eğitim-araştırma kurumlarının hesaplama ihtiyacını karşılamak üzere bir matematik yazılımı geliştirdi. Söz konusu algoritma işte bu yazılımın temeli olup Wolfram Alpha akıllı arama motorunda da kullanılmıştır.

Stephen Wolfram video söyleşisinde şunu soruyor: Einstein’ın genel görelilik teorisini Newton mekaniğinden sonra geliştirmek şart mıdır? İnsanlık göreliliği 1600’lerde keşfetseydi Newton’a hiç gerek kalır mıydı? Bilimi bilim tarihi mi yapar, yoksa bilim mi bilim tarihini yazar? İlk doğru gibi:

Wolfram özetle diyor ki

İnsanlık bilimsel buluşları belirli bir sırayla yaptı; ama bugün evrimi ve tarihi sıfırlayıp yeniden başlatsak keşifler farklı bir sırayla yapılırdı. Hatta farklı bir matematik ve mantık kullanabilirdik. Yine bilim yapardık fakat bilimsel keşif ve buluşlar sadece farklı sırayla değil, aynı zamanda farklı bir şekilde yapılırdı! Öyleyse matematik evrensel bir değildir. Buna insan dilinden örnek verelim:

İlgili yazı: İnternetinizi Uçuracak En İyi 10 Modem

 

Matematik ve doğal dil

Diyelim ki Türkçe konuşuyoruz. Öyleyse Türkçe dilinde kurulabilecek bütün cümleleri hayal edelim. Bunu ayrık matematik ve temel dilbilimde araştırırız ki siz de bunun için bir bilgisayar programı yazabilirsiniz. Nitekim sözdizim kuralları ve tümcebilim açısından matematik alanında yazılabilecek bütün makaleler, sonlu sözcük dağarcığı ve türetken dilbilgisiyle yazılabilecek bütün makaleler arasında daha küçük bir küme oluşturur.

Öyle ya, Türkçede sadece matematik değil fizik makaleleri de yazabilirsiniz. Bu durumda olası bütün matematik makalelerinin sayısı olası bütün bilimsel makale sayısından az olacaktır. Wolfram bu sınırlı sembol dizisini (harf, sözcük ve söz kombinasyonları cümleleri oluşturur) bilgisayarla hesaplayacak bir algoritma yazabiliriz diyor (matematik makaleleri P kümesine girer). Aynı zamanda algoritmam 50 bin farklı aksiyom buldu diyor.

Öyleyse Wolfram P ≠ NP diyor! P, NP’ye eşit değilse 1) Bazı matematik problemlerini sonlu sürede çözmek imkansızdır. 2) Öyleyse matematik sonsuzdur ve 3) Bu durumda kainatta sonsuz sayıda matematik, mantık ve aksiyom vardır ki biz insanlık olarak bunlardan sadece birini kullanıyoruz. Ezcümle matematik insan icadı bir yapıntıdır. Bunu matematikle görecek olursak:

İlgili yazı: Corona Virüsüne Karşı Baidu Antivirüs Yapay Zekası

 

Matematik ve Kodlama

Diyelim ki kodlama yapıyorsunuz. İkili bir mantık operatöründe geçerli olabilecek bütün koşulları tek tek sayıp sıralarsanız bu NAND operatörünü tanımlayacak en kısa koşulun değeri yaklaşık 50 bin olacaktır. Stephen Wolfram bunu yaptı ve aşağıdaki gibi çarpım işlemlerinde tüm a, b ve c işaretlerinin birer NAND olduğunu gördü. Öyle ki aşağıdaki gibi yazılmak kaydıyla daha kısa bir aksiyom yoktu:

      ((a*b)*c)*(a*((a*c)*a) = c

Wolfram işte bu aksiyoma (fizikte varlığı kanıtlamayan veya çürütülemeyen temel önermeler; yani tanımı analitik olmayan ve daha küçük parçalara bölünemeyen önermeler, Kant’ın deyişiyle a priori önermeler) temel mantık önermesi, formel mantık diyor.

Sonuçta NAND evrensel bir mantık kapısıdır ve elinizde bir NAND fonksiyonu varsa onunla mümkün olan 16 ikili mantık operasyonunun tamamını, yani olası boleanların tamamını tanımlayabilirsiniz. Muhtemelen doğru ve zarif bir açıklama. 😊

Pekala bu kadar matematik yeter. Şimdi matematik evrensel bir dil mi sorusunu öngörülemezlik, karar verilemezlik ve hesaplanamazlık başlıklarıyla görelim. Bu kez konuyu fizik bilimi ve fizik felsefesi açısından ele alacağız. Kapanışı ise genel istek üzerine yapay zekayla yapacağım:

İlgili yazı: Çernobil Nükleer Reaktörü Neden Patladı?

 

Matematik ve Gödel teoremi

Matematik evrensel ve sonsuz mu sorusunu bu kez matematik eksik mi diye sorup yanıtını Gödel Teoremi bağlamında görelim: Gödel teoremi diyor ki belirli bir aksiyom kümesi yeterince karmaşıksa bunları kullanarak doğru olup olmadıklarını asla bilemeyeceğiniz yepyeni beyanlarda bulunabilirsiniz (Yine P ≠ NP diyor! Evet bu yazıda bundan kaçış yok, matematik felsefesi ve YZ konuşuyoruz. 😊 ).

Mademki P, NP’ye eşit değildir o zaman matematik eksiktir. Kısacası bütün problemleri çözemeyiz. Aslında bu da iyi bir şey; çünkü bu durum doğanın öngörülemez olduğunu gösterir. Öyleyse özgür irade, yani kendi kararlarımızı özgürce almamız en azından teorik olarak mümkündür. P=NP ise tersi olurdu. Bizler duyarsız ve tarafsız bir matematik tanrısının evreni yaratırken nasıl yaşayacağı, düşüneceği ve davranacağını baştan programladığı birer beyinsiz otomat olurduk.

Şimdi bilimsel düşüncenin nasıl işlediğine ve matematiğin fiziğe nasıl yardım ettiğine bir örnek verelim: Gödel Teoremi ahlak ve matematik felsefesi hakkında muhteşem görüşler bildiriyor. Ancak bu görüşler geçerli olsa bile fizik bilimiyle pek alakası yoktur. Neden derseniz: Gödel Teoremi aksiyomunu bu teoreme aykırı olan başka bir aksiyomla değiştirebilirsiniz de ondan. Matematik sonsuzsa birbirinin tersini söyleyen önermeler de sonsuz sayıda olacaktır!

Peki biz matematiğin eksik olmasıyla fizikte nasıl başa çıkıyoruz? Fizik teorilerinde sadece matematiksel aksiyomlar veya bunların geometrideki karşılığı olan belitler yoktur (düz geometride iki nokta arasındaki en kısa çizgi doğrudur gibi belitler). Fizikte aynı zamanda bunları yaşadığımız gözlemlenebilir evrene, yani doğaya nasıl uygulayacağımızın reçetesi de vardır.

Aksiyomlar arasında geçiş yapmak

En basitinden iki nokta arasındaki en kısa çizgi düz geometride doğrudur. Oysa Dünya yuvarlıktır ve bizim gezegenimizde iki nokta arasındaki en kısa çizgi eğridir. Bir aksiyomu tersiyle değiştirebiliriz derken kastettiğim budur. Hatta aksiyomlar arasında pürüzsüz geçişler bile yapabiliriz. Ben de yerçekimi uzayı nasıl büküyor yazısında düz geometriden eğri geometriye nasıl geçtiğimizi anlattım.

İlgili yazı: Düz Dünya Teorisini Çürüten 12 Kanıt

 

Matematik tutarlı, fizik geçerlidir

Bunu tekrarlamakta fayda var: Matematik tutarlıdır, fizik ise hem tutarlı hem geçerlidir; çünkü fizik teorilerini gözlem ve deney yaparak, yani doğaya bakarak test ederiz. En basitinden sicim teorisi de uzayı açıklıyor, halka kuantum kütleçekim kuramı da… Peki bu ikisinden hangisi doğru? Bilmiyoruz ve test etmeden de bilemeyeceğiz. Belki de ikisi birden yanlış veya kısmen doğrudur.

Fizikte bir şey daha yaparız: Bir teoride yeni bir fizik kuvveti öngörülüyorsa ama biz yaptığımız deneylerde bunu görmüyorsak o fizik kuvvetini yok sayarız; çünkü bazen bir teoriyi çürütmeye kanıtımız yetmez. Oysa bir teorinin yanlış olduğunu bir kez göstermek yeterlidir.

Bir fizik teorisi doğa hakkında bin şey söyleyebilir; ama bunlardan biri yanlışsa o teorinin yanlış olduğunu anlarız. Onu düzeltmemiz gerekecektir. Oysa sicim teorisi gibi bazı kuramları şimdilik çürütemiyor ve doğru olduğunu da gösteremiyoruz. O yüzden sicim teorisini kanıtını görene dek yok sayabiliriz. Ancak, matematikteki hesaplanamazlığın fizikle alakasız olmasının asıl nedeni başkadır:

İlgili yazı: İnternette teknik takip ve gözetimi önleme rehberi

 

Matematik ve hesaplanamazlık

Hesaplanamazlık hep sonsuzluk yüzünden oluyor: Bir matematik probleminde 1/0 gibi tanımsız ifadeleri ve sonsuzlukları elimine edemediğimiz zaman o problemi hesaplayamıyor, dolayısıyla çözemiyoruz. Oysa gözlemlenebilir evren sonludur. Bu yüzden Gödel Teoremi ve sonsuzlukları doğada bulduğumuz hiçbir şeye uygulayamayız. Peki Gödel Teoremi gereksiz midir? Tersine çok gereklidir:

Matematik size olası bütün evrenlerin nasıl formüle edileceğini gösterir. Matematik evrensel anahtar gibidir. Doğadaki bütün kapıları ve olası doğalardaki bütün olası kapıları açar. Bu açıdan evrenseldir ve evrensel olmasaydı bizim evrenimizde fizik yapmak için de yararlı bir araç olamazdı. Ancak, matematiği bütün olası evrenlerde kullanmamız matematiğin evrensel dil olduğunu göstermez. Bizzat Gödel teoremindeki eksiklik (yani sonsuzluk) matematiğin ucunun açık olduğuna işaret ediyor.

Bunun en ünlü örneği de Turing Makineleridir (basitçe bilgisayarlar). Alan Turing 1950’lerde bilgisayar teorisinin temellerini atarken Durma Problemini de ortaya koydu: Bilgisayarda çalışan bir algoritmaya bir matematik problemini çözme görevini verdiğinizi düşünün.

Bunu ya bunu sonlu sürede yapacaktır ya da sonsuz sürede. Ya bunu beklemekten sıkılmayacağınız kadar kısa sürede çözecektir ya da sonsuzluk kadar uzun gelen sonlu sürede ki pratikte bu sonsuzlukla aynı şeydir. Öyleyse yapay zeka açısından P=NP, bilgisayarlar yeterince güçlü ise bütün P problemlerini makul sürede çözebilirler demektir.

İlgili yazı: Evrenin En Büyük Yıldızı UY Scuti mi?

 

Yapay zekada hesaplanamazlık

Yapay zeka açısından P=NP şöyle de ifade edilebilir: Herhangi bir bilgisayar algoritmasının herhangi bir problemi çözerken sonsuza dek bekleyip beklemeyeceğini öngören bir meta algoritma var mı ve söz konusu meta algoritma bu soruyu makul sürede yanıtlayabilir mi? Eğer kainatta sonlu sayıda matematik problemi varsa evet (P=NP) ama sonsuz sayıda matematik problemi varsa, hayır.

Kısacası bilgisayarlar bug verir

Günlük hayatta Durma Problemini “Bütün bilgisayarlar bir şekilde bug verir ve ne zaman, neden bug vereceklerini önceden kesin bilemeyiz” şeklinde ifade ederiz. Peki Alan Turing bu soruyu nasıl yanıtladı? Dedi ki belli bazı algoritmaların makul sürede çözüleceğini gösteren meta algoritmalar vardır; ama bütün algoritmaların sonlu sürede çözüleceğini gösteren bir meta algoritma yoktur. Şimdi bunu kozmoloji (evrenbilim) açısından görelim:

İlgili yazı: DNA Testi Yaparsanız Neler Öğrenirsiniz?

 

Matematik ve kozmoloji

Buraya dek anlattıklarımızı özetlersek: 1) Matematiğin eksik; çünkü sonsuz olduğunu söyledik. 2) P=NP önermesi henüz matematikte kanıtlanmadı ve kanıtlanacak gibi de görünmüyor diye ekledik. 3) Hatta matematik sonsuz olduğu için özgür irade mümkündür; çünkü bütün bilgisayarlar bug verir, yani evrenin ve Türklerin ne yapacağı belli olmaz. Bu belirlenemezlik de özgür iradeye yer açar dedik. 😮

4) Ancak, yaşadığımız evrenin sonlu olduğunu da belirttik. Öyleyse P=NP olmuyor mu? Evren sonlu ve sınırlıysa evrendeki her şeyi makul sürede hesaplayamaz mıyız? Peki bunu yaparsak matematik tanrısının özgür irade yoksunu otomatik dronları olmaz mıyız? Merak etmeyin, olmayız. 😊

Öncelikle matematikte her şey belirlenimci (determinist olabilir; ama P=NP olsa bile bütün problemlerin çözümünü bir insan ömründe veya birkaç yüzyılda bulamayız. Öyle problemler var ki cevaplamak trilyonlarca yıl alabilir (Buna determinist kaos diyoruz ve siz de kelebek etkisinde okuyabilirsiniz). Evrenin o kadar süre yaşayacağı ise şüphelidir! Kısacası bilinemezlik özgürlüğe yer açar; ama daha bitmedi:

Bir de Heisenberg’in belirsizlik ilkesi var. Belirsizlik ilkesi evrenin sadece sonlu sürede değil, sonsuz sürede bile kısmen belirsiz olacağını söylüyor. Kuantum fiziğine göre bir fiziksel sistemden çıkarabileceğimiz enformasyon miktarı yüzde 100 kesin değil ve sınırlıdır; ama bir fiziksel sistemin içerdiği enformasyonun tamamına erişebiliriz. Öyleyse evren hakkında her şeyi bilemeyiz; ama pratikte birçok şeyi biliriz ve bu durum özgür iradeyi ortadan kaldırmaz. Şimdi evrenin genişlemesine geçelim:

İlgili yazı: Güneşi Saran Halka Dünyalar İnşa Edebilir miyiz?

 

Matematik ve Bell eşitsizliği

Fizikçi John Stuart Bell, kuantum fiziğinde determinist pilot teorisini geliştiren Bohm’un gizli değişkenler teorisini yanlışlamak için Bell eşitsizliği deneyleri yaptı. Özetle evrenin lokal olarak sonsuz enformasyon içeremeyeceğini gösterdi. Evren sonsuz olabilir ama bir kahve kupasındaki enformasyon miktarı hep sonludur. Öyleyse bizim erişemediğimiz gizli değişkenler yoktur. Dolayısıyla determinizm yaşadığımız evrende geçerli değildir. Yalnızca evreni anlamamızdaki matematiksel bir araçtır.

Hatta Bell buluşunu şöyle ifade etti: Evrende yerel gizli değişkenler olmadığına eminim; ama sonsuz büyüklükteki bir evrenin tamamında gizli değişkenler olmayacağından emin değilim. Bunu daha basit bir dille anlatırsak: Kozmoloji diyor ki evren büyük patlamadan beri sürekli genişliyor ve sonsuza dek genişleyecek. Bu durumda evren termodinamik açıdan ucu açık bir sistemdir.

Nitekim evrende ışığı bize asla ulaşamayacak kadar uzakta olan galaksiler var ve böyle sonsuz sayıda galaksi olabilir. Dolayısıyla evrenin tamamında belirsizlik ilkesine rağmen sonsuz enformasyon olabilir; ama biz evrenin tamamına değil, yalnızca gözlemlenebilir evrene erişebiliriz. Bu evrende de enformasyon sonludur, lokal gizli değişkenler yoktur ve özgür irade vardır.

Toparlayacak olursak

Bu sonlu evrende, asla sonsuz sayıda soruyu yanıtlamak zorunda olan bir algoritma kullanmamız gerekmeyecek. Fizikte ve günlük hayatta işimizi görmek için sonlu sayıda soruyu cevaplamak yeterli olacak. Ayrıca yeterince güçlü bir bilgisayarımız varsa bunları birkaç saniye gibi makul sürelerde yanıtlayabileceğiz. Kısacası bir fizikçi ve yazılımcı için P=NP? sorusunun yanıtı PRATİKTE önemli değildir. Şimdi hesaplanamazlık ve öngörülemezlikle ilgili iki popüler matematik problemini görelim:

İlgili yazı: İnsanlar Ay Üzerinde Ne Zaman Üs Kuracak?

Domino problemi

Wang’ın Domino Problemi için üzerinde farklı renkler bulunan ve rengi rastgele seçilmiş olan karolarla sonsuz büyüklükte bir yüzeyi kapladığımızı düşünelim. Peki bu yüzeyi her zaman bir kenarında rengi eşleşen karolarla kaplayacağımızı kanıtlayabilir miyiz (Örneğin yeşil, mavi, siyah renkli kenarları olan bir karonun, her zaman bir kenarı bu renklerden biriyle kaplı olan bir karoya bitişik olması)?

Domino Problemini üç renkli karolar için belki çözebiliriz. Ancak, bunu her karonun farklı renk kombinasyonları alabildiği sonsuz büyüklükteki bir yüzeyde çözemeyiz (P=NP?). Neyse ki evren karo döşemek zorunda olduğumuz sonsuz bir düzlem değil de biz bu Corona krizinde masraftan yırtabiliyoruz. 😉

Bu arada gerçek sayılar da bir hesaplanamazlık problemidir: Matematikte sonsuz sayıda gerçek sayı var; ama bunları sonlu sürede sonlu ondalık basamaklar halinde sadeleştirecek bir bilgisayar algoritması yok. Nitekim geçenlerde Pi sayısı günüydü. Pi sayısının sonsuz sayıda ondalık basamağı var ve dahası bütün sayıları Pi sayısı gibi sonlu ondalık basamaklar halinde sadeleştiremiyoruz.

Öyle ki gerçek sayıları sonsuz sayıda basamaklar halinde düşünebiliriz; ama fizik biliminde sadece sonlu sayıda basamağı olan sayılarla çalışıyoruz. Belirsizlik ilkesi de ölçümlerimizin her zaman sonlu ve sınırlı olacağını, dolayısıyla hata payı içereceğini gösteriyor. Oysa doğanın kısmen öngörülemez olduğunu gösteren bir matematik dalı daha var. Determinist kaos:

Matematik ve kaos

Determinist kaostaki belirlenemezlik kuantum fiziğindeki belirsizlikten daha ilginç görüyor; çünkü belirsizlik ilkesi nihayet bir aksiyomdur. Bu aksiyom kuantum fiziğinin temeli olsa da özünde bir kabuldür. Öyleyse kuantum fiziği ve özgür iradeyi koruyan belirsizlik ilkesi çok düşük bir ihtimal de olsa yanlış olabilir. Bu durumda özgür iradeyi kurtaracak olan yine determinist kaostur; çünkü sonlu bir evrende bile her şeyi sonlu sürede bilemeyeceğimizi söyleyerek özgürlüğe yer açıyor.

İlgili yazı: Evren Bir Simülasyon mu?

 

Navier Stokes Denklemi

Bu denklemi uydu fotoğraflarına bakıp hava tahminleri yapmakta kullanıyoruz; ama aynı zamanda öngörülemez durumlara yol açıyor. Bu yüzden Navier Stokes Denklemi de Clay Enstitüsü’nün Binyılın Ödülleri programına dahil olan çok zor bir matematik problemidir; fakat diyelim ki bunu çözdük ve matematikteki bazı denklemleri asla sonlu sürede analiz edemeyeceğimizi öğrendik (P eşit değildir NP). O zaman ne olacak?

Hava tahminleri açısından pek bir şey değişmeyecek. Meteorolojide zaten yuvarlak tahminlerde bulunuyoruz ve hava olaylarını gittikçe azalan ama asla yok olmayan bir hata payıyla öngörmeye devam edeceğiz. Sonuç olarak bulutlar su buharından ve sağanak yağmur da sıvı sudan oluşuyor. Bunları da kuantum fiziğine tabi moleküller, atomlar ve parçacıklarla ifade edip hesaplayabiliriz.

Kuantum fiziği ise belirlenemezliğin üstüne belirsizlik ilkesini ekliyor. Kısacası kuantum fiziği doğruysa lokal öngörülemezlik değişmeden kalacak. Kuantum fiziği yanlışsa bu kez de determinist kaostaki belirlenemezlik matematik hesaplamalarıyla her şeyi sonlu sürede öngörmemizi engelleyecek. Bu detayları vermemin sebebi ise matematiğin fizikle ilişkisinde başka bir sorunu ortaya koymasıdır:

Matematiği kullanarak fizik problemlerini çözüyoruz; ancak bu süreçte yaptığımız teorik varsayımların evrende gerçekten geçerli olup olmadığını asla kesin olarak bilemeyeceğiz. Bunu yalnızca ölçebildiğimiz kadarıyla bilebileceğiz. İşte bu yüzden bilim deneysel olmak zorunda; çünkü sadece deneyler hata payını azaltabilir. Deney ve gözlemlerle fizik teorilerini düzeltebilir veya daha kapsamlı olan yeni teorilerle değiştirebiliriz. Öyleyse matematiği işe yaradığı için kullanıyoruz. Platon idealarının tersine, doğa matematik olduğu için değil!

İlgili yazı: Beyin Simülasyonu ve Elektrikle Beyin Kontrolü

 

Matematik ve nükleer füzyon

Aslında hesaplanamazlık, öngörülemezlik ve karar verilemezlik kavramlarının bilimle ilgisi olmadığını söylemiyorum. Bu kavramlar bize doğayla ilişkin derin bilgiler verdiği için değil ama bilimsel araştırmalara yardım ettiği için bilimle alakalıdır.

Örneğin Navier Stokes Denklemi hava tahminleri yapmak için en doğru denklem olmayabilir ve gelecekte daha doğru bir denklem bulabiliriz; ama bugün çok işimize yarıyor. Ayrıca bilim insanları hangi teorilerin hesaplanamaz olduğunu bilmek isteyecektir. Böylece öncelikle yaşadığımız doğayı açıklayan gerçekçi fizik teorilerine odaklanabiliriz.

Her zaman için varsa başka evrenlerin fizik yasalarını merak eden fizikçiler de olacaktır. Öte yandan hangi teorinin bu evreni anlamayı kolaylaştırdığı veya zorlaştırdığını bilmek de çok yararlıdır. Buna bilimsel araştırma verimliliğini artıran bir optimizasyon problemi gözüyle de bakabilirsiniz. Yazının başındaki kuantum kütleçekim kuramı örneğinde belirttiğim gibi bunu çözmek de yapay zekanın işidir. En basitinden, Navier Stokes Denklemiyle hava tahminleri yapmaktan vazgeçsek bile deneysel nükleer füzyon reaktörlerindeki plazma akışının simülasyonunu yapmak için bu denklemi kullanmaya devam edebiliriz.

Sonuçta nükleer füzyondaki en büyük problem budur: Reaktörün içindeki plazma öngörülemez bir şekilde sağa sola savruluyor ve yanma odasının duvarlarına zarar veriyor. Bu da reaktörün kapanmasına yol açıp nükleer füzyon enerji üretimini ticarileştirmeye mani oluyor. Oysa P=NP’nin en azından bazı problemler için geçerli olduğunu biliyoruz. Yapay zeka algoritmaları da füzyon reaktörlerindeki plazma akışını öngörebilirse reaktörlerin bozulmasını engelleyebiliriz.

İlgili yazı: Beyin Programlayan Holografik Aygıt

 

Matematik ve sibergüvenlik

Artık matematiğin evrensel bir değil de evreni anlamaya yarayan bir araç olduğunu gördük; ama yazıyı yapay zeka ile kapatacağıma söz vermiştim. Bunu yapmamın nedeni bizi teorik tartışmalardan uzaklaştırıp P=NP probleminin pratik kullanımlarına yönlendirecek olmasıdır. Bu kez P=NP’nin şu anda kabul edildiği gibi sadece bazı NP problemleri için geçerli olduğunu düşünelim.

Bu durumda en azından şifrebilim problemlerini doğrulayıp doğrulayamayacağımızı öngören bir meta algoritma geliştirebilir miyiz? Dikkat ederseniz şifreleri kırmaktan ziyade, hangi şifrelerin daha kolay kırılabileceğini öngören bir algoritmadan söz ediyoruz. Evet, bu mümkün olabilir. Gelecekte bugün için kırılması imkansız olan şifrelerin kırılıp kırılmayacağını söyleyen kuantum bilgisayarlar geliştirebiliriz.

Doğrusu matematikte böyle bir ihtimal olması siber güvenlikçilerin gözünü kortuyor. Örneğin bugün şifrebilimciler çok büyük iki asal sayının çarpımıyla elde edilen bir sayıyı tambölenlerine ayırmanın bir P problemi olmadığını varsayıyor (bu tür şifreleri kırmak sonsuzluk kadar uzun sürer diyor). Dikkat: İki asal sayısının çarpımını hesaplamak P kümesine girer, ama bu çarpımı tambölenlerine ayırmak girmez. Oysa bunu beceren bir kuantum bilgisayar geliştirirsek bugünkü şifrelerin büyük kısmını kırabiliriz.

Siz de kuantum bilgisayarların bugün internette kullanılan bütün şifreleri nasıl kıracağını Kutritler ile Üç Boyutlu Kuantum Işınlama yazısında okuyabilir ve gözlemlenebilir evrenin veri depolama kapasitesine şimdi bakabilirsiniz.  Evren bir bilgisayar simülasyonu olsa bile özgür iradenin neden ortadan kalkmayacağını ise evren simülasyonu yapan en küçük kara delik bilgisayarda görebilirsiniz. Bilimin hemen her alanındaki yeni yazılarda görüşmek üzere sağlıcakla kalın.

Turing makineleri ve durma problemi

¹P versus NP problem
²Uncomputability of Phase Diagrams
³Uncomputability and complexity of quantum control
⁴Getting around the Halting Problem
⁵The Power of One-State Turing Machines
⁶Math Matters by Sabine Hossenfelder