Yerçekimi Uzayla Zamanı Nasıl Büküyor?

Yerçekimi-uzayla-zamanı-nasıl-büküyorEinstein der ki kütle uzayı büker ve bükülen uzay da kütleye nasıl yol alacağını gösterir. Güzel sözler ama uzayın bükülmesi ne demek ve yerçekimi uzayla zamanı nasıl büküyor? Bugün hem Einstein’ın doğum günü hem de Dünya Pi Sayısı Günü! Biz de ikisinin şerefine, Newton mekaniğindeki düz uzaydan Einstein’ın eğri uzay-zamanına nasıl geçiş yaptığımızı temel geometri ile görelim.

Einstein ve Pi günü

Pi sayısı (π) bir çemberin çevre uzunluğunun çapına oranıdır ve bu oran hiç değişmez. Her zaman 3,14 olarak kısalttığımız Pi sayısına eşittir. Pi irrasyonel bir sayıdır, yani rasyonel sayı kümesine dahil olmayan bir gerçek sayıdır. Sonsuz ondalık bir sayı olarak açılımı da kendini tekrar etmeden sonsuza dek sürer (3,14159265359∞). Bir matematik sabiti ve sonsuz ondalık olduğu için Pi sayısı tarih boyunca matematikçileri, bilim insanlarını ve filozofları büyülemiştir.

Peki madem uzayı bükebiliyoruz, öyleyse Öklid geometrisindeki düz çizgiler (iki nokta arasındaki en kısa çizgi olan doğrular) bükülen uzaydaki eğrilere nasıl dönüşüyor? Öklid geometrisindeki yassı dairemiz gerçek uzayda tıpkı bir aşçının havaya attığı pizza gibi nasıl bükülüp dalgalanabiliyor? Sonuçta Einstein’a göre yerçekimi bir kuvvet değil, uzay-zamanın bükülmesiyle ortaya çıkan ve bizim yerçekimi alanı olarak algıladığımız bir özelliktir. Yerçekimi uzayı bükerken neler olduğunu görelim.

Nasıl olsa Einstein görelilik teorisinde uzayla zamanı ayrılmaz bir bütün olarak gösterdi. Bu yüzden görelilik zamanı da bir boyut olarak alır ve zamanın akışını tıpkı uzay gibi resmeder. Uzay ve zaman üç uzay boyutu + bir zaman boyutu olmak üzere dört boyutlu bir geometrik yüzey oluşturur. Bükülen şey budur:

İlgili yazı: Corona Virüsüne Karşı Baidu Antivirüs Yapay Zekası

 

Yerçekimi ve uzay ilişkisi

Uzayın bükülmesini anlamak için düz ve eğri geometriyi anlamamız ve eğri geometriden düz geometriye nasıl geçtiğimizi görmemiz gerekiyor. Bunun için iki basit soruyla başlayacağız: 1) Eğri nedir ve 2) Geometride eğri çizgiler düz çizgilere nasıl dönüşür? Bunların cevabı da bize görelilik teorisinin nasıl işlediğini gösterecek:

Einstein’ın genel görelilik teorisinde Dünya çevresinde, yörüngede dönen veya Dünya’ya düşmekte olan cisimler kütleçekim kuvveti tarafından Yerküreye çekilmezler. Dolayısıyla hızlanmazlar da… Aslında bunlar eğri uzay-zamanda sabit hızda gider ve düz çizgileri izlerler.

Oysa yine görelilikte diyoruz ki Dünya’nın kütlesi Yerkürenin çevresinde üç boyutlu bir çukur oluşturuyor. Cisimler de bu çukura düşerek Dünya’ya yaklaşıyor. Keza düz uzayda iki nokta arasındaki en kısa çizgi doğru iken eğri uzayda iki nokta arasındaki en kısa çizgi eğridir. Öyleyse Dünya çevresinde dönen uydular eğri uzayda nasıl oluyor da dosdoğru bir yol izliyorlar?

Bugüne dek bunu hep sözlerle anlattık. Şimdi işin tekniğini göreceğiz; ama kaygılanmayın, bu bir matematik dersi değil ve sizi denklemlere boğmayacağım. İlla matematik istiyorum derseniz Misner, Thorne ve Wheeler tarafından yazılan 1200 sayfalık Gravitation kitabını okuyabilirsiniz.1 Ancak, uzayı bükmenin mantığını basit geometriyle de anlatabiliriz:

İlgili yazı: Renk Körlüğünü Düzelten Gözlük EnChroma

 

Uzayla zamanı tasarlamak

Yazının ana fikri yerçekiminin bir fizik kuvveti olmadığıdır. Biz de matematikte bu sonuca nasıl vardığımızı göreceğiz ki önce şunu belirtelim: Eğri uzay tasarımında, Newton mekaniğinde gördüğümüz düz çizgi üzerinde sabit hızla gitmek ve ivmelenmek (hızlanma hızı) kavramlarının bir anlamı yoktur.

Peki Newton yanlış mı?

Newton’ın Yerçekimi Yasası Yanlış mı? yazısında görelilik teorisinin Newton mekaniğini yalanlamadığını, sadece salt düz uzayda geçerli olan hareket yasalarını eğri uzayda da geçerli olacak şekilde genellediğini söyledim. Genel görelilik teorisine bu yüzden “genel” diyoruz. Görelilik Newton’ı kapsıyor ve genelliyor.

Bu genellemeyi yaptıktan sonra göreceğiz ki hareket halindeki cisimlerin (mobil referans çerçeveleri) birbirine göre ivmeleniyor olmasına rağmen, aslında sabit hızda gidiyor olduklarını söylemek çelişkili değildir. Dahası bu hiç de karmaşık bir cümle değildir! Uzayla zamanı bükmek derken bunu düz çizgileri eğip birer eğriye dönüştürmek olarak düşünebiliriz. Ancak, işin geometrisi daha farklıdır:

İlgili yazı: Gerçek Adem: ilk insan ne zaman yaşadı?

Bir çizgi ne zaman eğri ve ne zaman düzdür?

 

Uzayla zamanı bükmek

Üç bölümlük yazı dizimizin bu ilk bölümünde a) düz çizgi ne demek, b) düz uzay ve eğri uzay ne demek, c) uzayın bükülmesi ne demek sorularını cevaplayacağım ki dizimizin her yeni bölümü öncekinden heyecanlı olacak: İkinci bölümde düz uzay-zamanı göreceğiz ve üçüncü bölümde eğri uzay-zamanı anlatarak genel göreliliğin temellerini tamamlayacağız. En sonunda göreceğiz ki evrendeki bütün cisimlerin hareketini eğri uzay-zamanla açıklayabiliriz.

Şimdi diyeceksiniz ki “Hocam neden düz çizgi eğri çizgiye nasıl dönüşür diye sormuyorsunuz da eğri çizgi düz çizgiye nasıl dönüşür diye soruyorsunuz?” Bunun sebebi düz çizginin geometride bir eğri türü olduğudur. Bunu aklımızda tutalım ve düz eğri ile gerçekten eğri olan çizgi arasındaki farkı görelim (resme ve sola bakınız):

A noktasından çıkan küçük bir vektör çiziyoruz. Vektör oku herhangi bir yönü gösterebilir. Şimdi bu vektör çizgisini eğri çizgi üzerinde A noktasından B noktasına kaydırabilirsiniz (resme ve sağa bakınız). Yalnız kaydırırken bir kuralımız var: Vektörün yönünü değiştirmeyeceksiniz (yani vektörün hareketi gösterdiği yöne paralel olacak)! Bu işleme vektörün eğri üzerinde paralel taşınması deniyor.

Aynısını düz çizgiye de yapalım. Peki ne fark görüyorsunuz? Bu kez vektörümüz sadece gösterdiği yöne paralel olarak hareket etmekle kalmadı. Düz çizgi durumunda, çizginin her noktasından teğet de geçti. İşte bunu eğri çizgide yapamazsınız. Paralel taşımayı hem eğri hem de düz çizgi üzerinde yapabilirsiniz; ama çizgideki her noktadan teğet geçmeyi sadece düz çizgi üzerinde yapabilirsiniz.

İlgili yazı: Kodlama İçin En Gerekli 16 Programlama Dili

Yerçekimi-uzayla-zamanı-nasıl-büküyor

 

Uzayla zamanı tanımlamak

Öyleyse elimizde bir tanım var artık: Üzerinde paralel taşıma yapıldığı zaman teğet vektörleri tüm noktalardan teğet geçen eğrilere “düz” denir. Matematikçiler uzun zaman önce bu tanımın tüm çizgileri kapsayacak şekilde harika bir genelleme yaptığını ve geometride çok yararlı olduğunu anladılar. Haydi buna günlük hayattan bir örnek verelim:

Dünya üzerinde yürüyen bir karınca düşünün. Dünya yuvarlaktır; ama karınca o kadar küçüktür ve birkaç milimetrelik boyu için Dünya’nın eğriliği o kadar azdır ki karınca için Dünya baktığı yerden düzdür (karıncanın Dünya’ya uzaydan bakmadığını varsayıyoruz). Bu durum karıncanın Dünya’daki mavi eğriyi kırmızı düz çizgi olarak algılamasına yol açar.

İşte bu yüzden eğrileri düz çizgilerden değil, düz çizgileri eğrilerden türeterek bunları eğri sınıfına sokuyoruz. Peki bunu geometride nasıl yapıyoruz? Sonuçta karınca sadece ileri-geri ve sağa-sola hareket edebildiği için onun açısından uzay iki boyutludur. Oysa Dünya’ya sadece çok yukarıdan bakınca yuvarlak olduğunu görürüz. Sonuçta Dünya üç boyutludur.

Peki karıncanın kendine göre Yeryüzünde aldığı yola karşılık gelen iki boyutlu düz çizgiyi 3B Yerküre yüzeyindeki eğriye, yani karıncanın gerçekte izlemekte olduğu eğriye nasıl dönüştürürüz? İpucunu yukarıda verdim: Eğriyi küçücük çizgilere bölerek ki karınca kararınca bakınca bunlar düz görünsün:

İlgili yazı: İnternetinizi Uçuracak En İyi 10 Modem

Yerçekimi-uzayla-zamanı-nasıl-büküyor

 

Uzayla zamanı çizmek

Buna bilgisayar ekranından örnek verebiliriz. Bilgisayarda düşük çözünürlüklü bir çember çizin. Resme uzaktan bakınca bunu çember olarak görürsünüz. Oysa zum yaparsanız çemberin aslında tırtıklı düz çizgilerden meydana geldiğini ve gittikçe piksellendiğini görürsünüz.

Karıncanın vektörü de “sadece eğriyi düz çizgi olarak gösterecek kadar küçük parçalara ayırdığımız zaman” yoldaki tüm noktalara teğet geçer. Eğriyi böldüğümüz küçük çizgilere de jeodezik deriz.  Demek ki eğri uzayı bu şekilde düz uzaya dönüştürüyoruz:

Nitekim genel görelilik hem Dünya’da nasıl düz yürüdüğümüzü hem de Ay’ın Dünya çevresinde nasıl dairesel bir yörünge çizdiğini gösterir. İkisinde de kullanılan genel bir teoridir. Kısacası jeodezikler, düz uzayı fırında pişen kek gibi kabartıp üç boyutlu hale getirmenizi sağlar. Aynı zamanda 3B uzayı iki boyutlu bir kağıda harita olarak resmetmenizi sağlar (topoğrafya haritaları).

Dahası küresel Dünya yüzeyinde en kısa yolun doğru değil, eğri olduğunu gösterir (havayolu uçuş rotaları vb.); ama daha net bir örnek verirsek: Yerküreyi 3B olarak kabul ettikten sonra Amerika’dan İstanbul’a gitmek için New York ve Los Angeles gibi farklı noktalardan çıkan düz tüneller açsaydık, bunların uzunluğu Yerkürenin eğriliği yüzünden birbirinden farklı olacaktı. Ancak bütün düz tüneller aynı noktada, İstanbul’da kesişecekti.

Peki bu bize neyi gösteriyor?

Genel görelilik teorisinin düz uzaydaki Newton mekaniğini yeniden tanımlayarak nasıl genellediğini gösteriyor! İki nokta arasındaki en kısa çizgi her zaman doğru değildir. Demek ki düz uzayı genelleyemeyiz; ama her türlü eğri üzerinde (bükümlü veya düz) paralel taşıma kurallarını genelleyebiliriz. Öyleyse görelilik Newton’ı kapsar ama tersi geçerli değildir. Pekala. Buraya dek uzayda eğri çizmenin ne olduğunu gördük. Şimdi de düz uzayı kağıt gibi bükmenin geometrisini görelim:

İlgili yazı: Dünyada 12 Metrelik Eksen Kayması Oluştu

 

Düz ve eğri uzay nedir?

Sağduyumuz bize odamızın tabanının düz olduğunu ve kürenin de yuvarlak olduğunu söyler (bilgilerimiz Dünya ve diğer gezegenlerin de yuvarlak olduğunu söyler). Peki yuvarlak uzay (eğri, bükümlü uzay) ne demektir? Yine paralel taşıma kuralını kullanacağız. Uzayda çizdiğiniz düz çizgi ve eğri üzerinde belirli bir vektörle paralel taşıma yapın.

1) A noktasından B noktasına geldiğiniz zaman düz ve eğri çizgi üzerindeki vektörler çakışıyor, yani aynı yönü gösteriyorsa uzay düzdür. Farklı yönleri gösteriyorsa uzay eğridir. 2) Keza A noktasından B noktasına gidip geri döndüğünüz zaman vektörünüz aynı yöne bakıyorsa uzay düzdür. Yok başka yere bakıyorsa uzay eğridir; çünkü bu durumda vektör çizgi üzerindeki bütün noktalardan teğet geçmez.

Uzayla paralellik olur mu?

Düz ve eğri uzayı tanımlamak için bir de paralellik tanımı var: 3) Birbirine paralel iki düz çizgi çekin ve bunları sonsuza dek uzatın. Bunlar sonsuz uzaklıkta bile paralel kalıyorsa uzay düzdür. Birbirinden uzaklaşıyorlarsa açık eğridir (eyer şekilli), birbirine yaklaşıyorlarsa kapalı eğridir (küre şekilli). Ancak artık biliyoruz ki düz çizgi geometride eksik bir tanım. Bunun yerine jeodezik diyeceğiz; ama dikkat:

İlgili yazı: Evrenin En Büyük Yıldızı UY Scuti mi? 

Yerçekimi-uzayla-zamanı-nasıl-büküyor

 

Uzayla şaka olmaz

Paralellik tanımı her zaman insanların görsel algısıyla uyumlu değildir. Mesela ilkokulda kullanılan tarzdan bir kitap kaplama kağıdı alın. Bunun üzerinde birbirine paralel düz çizgiler olsun. Şimdi bu kağıtla bir karton silindiri kaplayın. Silindir yuvarlaktır ama kaplama kağıdındaki çizgiler yuvarlak yüzeyde bile birbirine paralel olacaktır.

Bu çizgiler silindir üzerinde kendi üzerine kapanabilir (kısmen de Dünya’da hep Doğuya giderseniz Macellan seferi gibi başladığınız noktaya geri dönecek olmanız gibi). Ancak siz silindire karşıdan bakarsanız görebildiğiniz yüzeydeki çizgilerin hep paralel olduğunu görürsünüz. İşte bu yüzden 3 numara yerine 1 ve 2 numaralı tanımlarla başladım. 3 numara mantıksal olarak 1 ve 2 ile aynı şeydir; ama yanıltıcı olabilir.

Bonus bilgi: Zaten Einstein da eğri uzayın düz uzay gibi görünebildiği bu örneklerden esinlenerek eğri uzay-zamanı tasarladı ve kütle uzayı büker dedi. Böylece görelilik teorisinin fikirsel kökenlerini de görmüş olduk ve geometriden sonra sıra topolojiye geldi: Network topolojisi yazısında belirttiğim gibi topoloji geometrik şekillerin değişmeyen yönleridir.

Mesela silindir örneğinde silindir yüzeyi yuvarlak, ama üzerindeki çizgiler gözle görebileceğiniz yüzey kısmında paraleldir. Silindir açısından düz yüzey ve eğri yüzey arasında pürüzsüz, kesintisiz bir geçiş vardır. Demek ki düz yüzey ile eğri yüzey olarak tanımladığımız iki farklı geometrik şekil aslında birbiriyle bağlantılıdır. İşte farklı şekillerin birbirine bağlanabilirliğini, ortak özelliklerini topoloji inceler. Öyleyse geometri yerel, topoloji ise evrenseldir.

İlgili yazı: Düz Dünya Teorisini Çürüten 12 Kanıt

 

Uzayla topoloji olur

Düz kağıdı boru şeklinde bükebilirsiniz. Einstein da kütle uzayı büker derken, buna imkan veren ilkeleri sorguladı. Dedi ki tamam düz kağıdı boru şeklinde bükebilirim. Peki bunu matematiksel olarak nasıl gösterebilirim? Evet, topoloji 3B uzayda bunu nasıl yapacağımı gösteriyor. Ancak, 4B uzay-zamanda bunu nasıl yapabilirim? Kısacası Einstein uzayın bükülmesini topolojiden esinlenerek formüle etti.

3B uzayın eğriliğini de bu şekilde test edebiliriz: Elinize herhangi bir şekil alın ve şu ünlü vektörümüzle bu şeklin yüzeyinde paralel taşıma yapın. Vektörünüz A noktasından B noktasına ulaştığında aynı yöne bakıyorsa uzay düzdür. Yoksa eğridir. Vektör kaymasını göremiyorsanız ya daha büyük bir şekil kullanın ya da vektörü ileri geri defalarca kaydırarak küçük kaymaların birikmesini sağlayın. Bunu bilgisayara kodlayarak test edin. 🙂

Şimdi diyebilirsiniz ki “Ama hocam aynı şeyi söylediniz?” Hayır, farklı bir şey söyledim. Sağduyumuzun bizi yanıltmasına karşı dikkatli olalım. Üç boyutlu eğri uzayı doğadan bildiğimiz üç boyutlu eğri şekillerle karıştırmayalım: Mesela bir dikdörtgen kibrit kutusu alalım. Bu nesne üç boyutludur; ama yüzeyi düzdür. Futbol topu ise yuvarlaktır ve yüzeyi eğridir. Paralel taşıma bunu göstermemizi sağlar.

Ancak, her ikisi de düz uzayda o şekildedir. Uzayın eğri olması ise bu şekillerin uzayla birlikte bükülmesi anlamına gelir. Kibrit kutusu ve kürenin şekli bükülüp çarpılacaktır. Aslında bunun detaylarını yazı dizimizin üçüncü bölümünde, 4B uzay-zaman konusunda yazacağım.

Kütleçekim dalgaları

Yine de kütleçekim dalgalarından bir örnek verebilirim. Dünya yuvarlaktır. Oysa kütleçekim dalgaları uzayın içinden geçen elektromanyetik dalgalar gibi değildir. Bunlar bizzat uzay-zamanı dalgalandırır. Dolayısıyla Dünya’nın içinden geçtiklerinde Dünya’yı da dalgalandırırlar. Tıpkı lastik bir topu sıkıştırıp ezer ve serbest bırakırlar. Neyse ki kütleçekim dalgaları çok zayıftır ve gezegeni parçalamaz. Öyleyse uzayı bükmeye geçebiliriz:

İlgili yazı: 14 Yaşında Kendini Donduran Kız

Yerçekimi-uzayla-zamanı-nasıl-büküyor

3B uzay-zaman gariptir. 3B uzayla karıştırmayın!

 

Uzayla dünya arasındaki ilişki

Dünya’nın yerçekimi uzayı büküyor mu? Evet, Ay’ın Yer çevresinde yörüngede dönmesini sağlayan bir çukur var; ama bu üç boyutlu yerçekimi çukuru değil. Bu bir uzay-zaman çukuru: Genel görelilikte uzay ve zaman ayrılmaz bir bütündür. Dünya’nın yerçekimi 4B uzay-zamanı bir bütün halinde büker.

İşte bu yüzden kütle uzayı bükünce ışığın uzayda aldığı yol uzar. Işığın yolu uzadığı zaman, bükülen uzayda zamanın akışı da yavaşlar (lokal olarak). Işık aynı zamanda neden-sonuç ilişkisinin, özünde fizik kuvvetlerinin uzayda yayılmasının; yani nedenselliğin hızı olduğu için zamanın akışı yavaşlar. Dolayısıyla kütle uzay-zamanı büküyor diyoruz.

Ancak, kütle uzay-zamanı lokal olarak büker ve bu yerel bükülmeyi de geometriyle gösteririz. Einstein ise kütlenin lokal uzayı nasıl bükeceğini göstermek için evrensel topoloji kurallarını kullanmıştır.

Bunu anlamak için geometrinin düz uzay-zamanda nasıl işlediğini görmemiz gerekiyor fakat düz uzay-zaman geometrisi üç boyutlu uzaydan daha gariptir. Elbette ikisi de üç boyutludur; ama düz uzay-zaman geometrisinde iki uzay boyutu ve bir zaman boyutu vardır. Aşağıda göreceğimiz ve sağduyuya aykırı olan garipliklere de 2B uzayla zamanı birleştirmek yol açar:

Uzayla zamanı 2B karıştırmak

Örneğin, resimdeki düz sarı çizginin uzunluğu sıfırdır! O iki düz siyah çizgi de aslında birbirine dik açı yapar! Çok garip değil mi? Gerçi fazla hızlı gidiyorum. Bu bölümde sadece düz ve eğri çizgiler ile düz ve eğri uzayı gördük. Düz uzay-zamanı ise gelecek bölümde göreceğiz. Peki Warp Sürüşüyle uzayı büküp ışıktan hızlı yolculuk edebilir miyiz? Ona da şimdi bakabilir, uzay büken zaman makinesini görebilir ve ışık hızının yüzde 99’una ulaşan sarmal motoru hemen inceleyebilirsiniz. Zorunlu tatilin tadını çıkarın.

Einstein bükülen uzay-zamanı nasıl tasarladı?


1Gravitation

Add a Comment

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir