Kuantum Bilgisayarların Gerçek Matematiği Nedir?

Kuantum bilgisayar nedir ve nasıl çalışır? Dünyada henüz klasik bilgisayarlar kadar güçlü kuantum bilgisayarlar yok ama IBM ve D-Wave gibi şirketler deneysel sistemler geliştirmeye devam ediyor. Kuantum bilgisayarlar yakın gelecekte birçok alanda klasik bilgisayarları geçecek. Dizüstü PC’lerin binlerce yılda yapamayacağı hesaplamaları birkaç dakika veya birkaç günde yapacak. Standart şifrelemeyi kıracak ve basit şifrelerle korunan bütün parolaları ele geçirecek. Peki sibergüvenlik dünyasını sarsacak bu güç nereden geliyor? Kuantum abartı ve kuantum üstünlük yazılarında kuantum bilgisayarların fiziğini gördük. Kuantum bilgi işlemin neden harika olduğunu anlamak için şimdi de kuantum bilgisayarların gerçek matematiğini görelim. Kafa karışıklığını giderip gerçeği öğrenelim.

Kuantum bilgisayarların güç kaynağı nedir?

Öncelikle bazı insanlar görsel, bazısı sözel ve bazıları da sayısal düşünür derler. Pek katılmıyorum. Herkes farklı yetkinliklerde her şekilde düşünür. Her matematiğin de bir fiziği ve geometrisi vardır. Einstein’ın genel görelilik kuramında gördüğümüz gibi matematiği görselleştirebiliriz. Böylece en soyut kavramları bile öğrenmek kolaylaşır. Matematiği görselleştirmek kendi insani sınırlamalarımız yüzünden sezgilerimize aykırı olan kuantum fiziğini de anlamayı nispeten kolaylaştıracaktır.

Biz de kuantum bilgisayarların matematiğini görsel olarak göreceğiz. O zaman kuantum bilgisayarın nasıl çalıştığını çok daha kolay anlayacağız. Bu bağlamda kuantum bilgisayarın gücü matematikten geliyor ve kuantum bilgisayar matematiğini üçe ayırabiliriz: 1) Kuantum bilgisayarlar nasıl işlem yapar? 2) Kuantum bilgisayarın yaptığı mantık işlemlerini matematikte nasıl yazarız? 3) Kuantum bilgisayarlar neden harikadır? Birincisiyle başlayalım:

İlgili yazı: Gerçek Adem: ilk insan ne zaman yaşadı?

 

Kuantum bilgisayarların üstünlükleri

Klasik bilgisayarların temel birimi veri bitidir. Bitlerin mantık işlemlerinde evet (var) ve hayır (yok) seçeneklerine karşılık gelen iki durumu vardır: 0 ve 1. Bilgisayarlar 01100011 gibi ikili sayı düzeninde dizilen bu bitleri alır ve mantık kapılarından geçirir. Bu süreçte bitleri 0 yerine 1 ve 1 yerine 0 koyarak değiştirir. Örneğin 01100011 dizisi için sekiz bitlik işlem yapar. Doğrusu bu bir bilgisayarın (Turing makinesi) nasıl çalıştığını göstermek için çok basit bir örnek oldu ama şimdilik işimize yarar.

Kuantum bilgisayarlar kübitleri kullanır. Kübitler kuantum bitin kısaltılmış halidir (meraklısına kaynaşım terimidir). Aslında bit sözcüğü de ikili basamaklar (binary digit) teriminin İngilizce kısaltmasıdır. Bu bağlamda kuantum bitler 0 ile 1 durumunda olabilir ve tıpkı klasik bilgisayarlar gibi kuantum bilgisayarların başlangıç programı da bir dizi 0’la 1’den oluşur. Bunlar aç kapa tarzında bilgisayara hangi işlemi nasıl yapacağını ve hangi problemi nasıl çözeceğini söyler. Sonuç olarak kod dizileri sayısal ve mantıksal bilgisayar talimatlarıdır.

Oysa kübitler 0 ve 1 arasında sonsuz sayıda değer alabilir, yani sonsuz farklı süperpozisyona sahip olabilir (0 ve 1 gibi tam sayılar arasındaki sonsuz ondalık sayıları Pi sayısı ve sonsuzluk nedir yazılarında görebilirsiniz). Bir kübit süperpozisyondayken belirli bir olasılıkla 0 ve belirli bir olasılıkla 1 durumunda olur. Dolayısıyla süperpozisyonu iki arada bir derede kalmak olmak düşünebilirsiniz. Bu kuantum belirsizliği 0 ve 1 arasındaki ondalık sayılarla gösteririz.

Oysa süperpozisyon kırılgandır

Kuantum bilgisayarlarda kübitleri dolanık parçacıklarla oluştururuz. Bunlar da gözlem yapma ve fiziksel etkileşime karşı çok hassastır. Süperpozisyonu görmeye ya da ölçmeye kalkarsak hemen bozulur. Kübitler aniden ya 0 veya 1 durumuna çöker. Bunu Schrödinger’in Kedisi düşünce deneyinde görmüştük. Efsanevi kedi kutuyu açıp bakmadan önce hem ölü hem diri süperpozisyonundaydı. Oysa kediye bakarsanız ya ölü ya diri olacaktır ve bunun orta yolu yoktur. Kuantum bilgisayarlar aslında Schrödinger’in Kedisi kutularıdır. Tek fark kübitlerin kediler yerine temel parçacıklardan oluşmasıdır:

İlgili yazı: Kodlama İçin En Gerekli 16 Programlama Dili

 

Kuantum bilgisayarların elektronları

Kübitleri genellikle dolanık elektron veya foton çiftlerinden üretiriz. Örneğin elektronların spin yukarı durumunu 0 ve spin aşağı durumunu 1’le gösteririz. Buna örnek olarak iki kübitlik bir kuantum işlemi görelim. Bu işlemde 0 0, 1 0, 0 1 ve 1 1 olmak üzere dört temel durum vardır. Öte yandan süperpozisyonlar ve temel durumların kombinezonlarından oluşan sonsuz sayıda ara durum da vardır.

Her kuantum işlemi bir kuantum mantık kapısıyla yapılır ki bu da klasik bilgisayarlardaki mantık kapısına benzer. Tabii kuantum işlemler kübitlerin durumunu değiştirecektir. Örneğin 0 0 durumundaki bir kuantum işlemle başlayalım. Bunu mantık kapısından geçirirken 0 0 kübitleri süperpozisyonda olur. Bunu işlemin sonucu yüzde 50 olasılıkla 0 1 ve yüzde 50 olasılıkla da 1 0 olacaktır. Şimdilik karekökleri unutun; ona birazdan geri geleceğiz. Her durumda resimdeki birinci satır ilk kuantum işlemini gösterir. Şimdi bunun üzerine bir işlem daha yaparsak sonuç ne çıkar?

Bunu ikinci satırda görebilirsiniz ve diyelim ki işlemi burada sonlandırdık: Sistemi gözlemleyerek veya ölçerek süperpozisyonu bozduk ve kuantum bilgisayar işlemi durdu. Oysa bizim bütün bu aşırı hassas süperpozisyonları görmemiz imkansızdır. Nasıl ki Schrödinger’in Kedisini hem ölü hem diri göremeyiz, elektronları da hem spin aşağı hem spin yukarı durumda göremeyiz. Aslında neredeyse görebiliriz ama kuantum zeno etkisini ayrıca yazacağım. Kuantum bilgisayarlara geri dönersek:

Gerçek hayatta tek olasılık gerçekleşir

Her elektron, olasılık dalga fonksiyonunun çökmesiyle (eşevresizlik) ya spin aşağı ya spin yukarı durumda olacaktır. Nitekim ikinci satırdaki kuantum işlemini her yapışınızda üç temel durumdan biri gerçekleşir. Sonuçlar yüzde 50 olasılıkla 0 1, 1/6 olasılıkla 1 0 ve 1/3 olasılıkla 1 1 olacaktır (İşleme zaten 0 0 ile başlamıştık). Demek ki bu işlemi 100 kez yaparsanız 50 kez 0 1, 17 kez 1 0 ve 33 kez de 1 1 sonucunu elde edeceksiniz.

Öyle ki kübit işlemlerine kuantum yazı tura atma veya Bell eşitsizliği de diyebilirsiniz. Nitekim John Stuart Bell kuantum fiziğinin gerçek olduğunu bu eşitsizliği göstererek kanıtlamıştır (Klasik fizikte üç olasılık yüzde 33 ile eşit olurdu). Toparlarsak bütün bu olasılıkların toplamı işlemin nihai süperpozisyonunu gösteriyor. Kuantum bilgisayarlar iki kübitle çok hızlı çalışmaz ama daha çok kübitle bazı işlemleri klasik bilgisayarlardan çok daha hızlı yapar. Peki bütün bunların matematiği nedir?

İlgili yazı: 100 Milyar Kat Zum Yapan Yerçekimi Teleskopu

 

Kuantum bilgisayarların matematiği

Bu bölümde kuantum bilgisayarları geometriyle açıklayacağız. Bunun için vektör kavramıyla başlayalım. Vektör matematikte soyut bir nesnedir ama somut örnekleri de var ve kuantum bilgisayarlar için geometrik vektörleri anlatmak yeterlidir. Nitekim vektör dediğimiz şey bir dizi sayıdır. Vektörün boyutu da onu gösteren sayıların toplam sayısıdır. Sayı dizisi derken bu aşamada sadece 0’dan büyük reel sayıları dikkate alacağız. Oysa kübitler negatif ve hatta karmaşık sayılar olabilir ki buna geri geleceğim:

Kuantum bilgisayarlardaki bir kübiti 0 ile 1 olmak üzere iki bileşenli ve iki boyutlu bir vektörle temsil edebiliriz. Resme bakın: Yukarıdan aşağıya 0, 1 ve süperpozisyon durumlarını görüyorsunuz. Şimdi bütün o kareköklerin nedenini görelim. İşlem vektörünü 1 birimlik daire olarak gösterirsek yatay bileşen (yatay çizgi), 0 durumu olasılığının karekökü olacaktır. Dikey bileşen de 1 durumu olasılığının karekökü olacaktır. Yatay ve dikey çizgilerin bileşkesi ise daire içinde bir dik üçgen oluşturur.

Öyleyse Pisagor teoremini uygulayarak vektörün uzunluğunun 1 olduğunu söyleyebiliriz. Bu da dik üçgenin hipotenüsüdür! Dahası bu daire üzerinde sonsuz nokta vardır ve her biri de başka bir kuantum durumudur. Kuantum bilgisayarlar birçok matematik işlemini işte bu yüzden klasik bilgisayarlardan çok hızlı yapar. Klasik bilgisayarlar sadece yukarı ve aşağı yönlerde, yani dik açılı vektörlerle çalışabilir (siyah vektör okları). Kuantum bilgisayarlar ise daire üzerindeki her açıda çalışır (türkuaz vektör okları). Oysa burada sadece bir kübiti 2B dairede gösterdik. Gerçek kuantum bilgisayarlar +2 kübitle çalışır.

2 kübit ve 4B vektörler

Öyleyse en basiti olan 2 kübite bakalım: İki kübitimiz varsa bunları dört boyutlu vektörle göstermemiz gerekir; çünkü iki kübitin dört olası sonuç durumu vardır (resme bakın). Önceki tek kübitlik işlemimizin açılımına da aşağıdaki resimde görebilirsiniz. 2B vektörümüzü 4B vektöre kolayca genelleyebiliyoruz. Peki bu kuantum bilgisayarların matematiği açısından en anlama geliyor?

İlgili yazı: Hayat Oyunu: Gödel Eksiklik Teoremi Nedir?

 

Kuantum bilgisayarların matrisleri

Daire örneğinde bütün kuantum durum vektörlerinin uzunluğu 1 birimdir. Siz de resimde 2 boyutlu vektör çizimiyle ondan türeyen 4 boyutlu vektör çizimini görebilirsiniz. Biz insanlar üç boyutlu evrende yaşadığımız için 4B uzayı gözümüzde canlandırmamız imkansızdır. Bunu resimdeki hiperküre gibi ancak yaklaşık olarak yapabiliriz. Peki matematiğin soyut olmasının nedeni; matematikte görselleştiremeyeceğimiz sonsuz sayıda boyut olması mıdır? Yoksa matematiğin sonsuz sayıda fiziksel boyutta çalışması mıdır? Bu sorunun yanıtını matematiksel fizikçiler ve filozoflara bırakıyorum. 😉

Geometri mi matematikten türer, yoksa matematik mi geometriyi türetir şeklinde özetleyebileceğimiz bu soru gayet meşrudur. Ne de olsa fizik, matematik denklemlerinin yaşadığımız evrendeki fiziksel uzay boyutlarına uyarlanmasıyla türetilir. Öte yandan uzayzaman evrenin temel bileşeni değildir derseniz, matematik geometriden önce gelir de diyebilirsiniz. Yine de geometrik karşılığı olmayan bir matematik bilmiyoruz. Yazıının sonunda kuantum bilgisayarların matematik, fizik ve felsefeyi birleştiren bu ciddi problemi nasıl çözebileceğini göreceğiz ama önce nasıl çalıştıklarıyla devam edelim:

Kuantum bilgisayarların matematiğinde diyoruz ki n sayıda kübitiniz varsa 2ⁿ temel durumunuz olacaktır. Demek ki n sayıdaki kuantum durumlarını 2ⁿ boyutlu bir küreyle gösterebiliriz. Dolayısıyla kübitlerle işlem yapmak demek; bir fiziksel sistemin vektörünü 2ⁿ boyutlu bir hiperküre üzerinde boyut sayısı kadar yöne oynatmak demektir. Gerçek hayatta bu yönlerden (olasılıklardan) yalnızca biri gerçekleşecektir. Matematikte bunu birimsel matriste gösteririz.

Vektörler ve matrisler

Konumuz açısından birimsel matrisler (birimsel dizeyler), vektörleri temsil eden noktaların hiperküre yüzeyinde nasıl yer değiştirdiğini gösteren bir sayı bloğudur. Biz de bunu 1 0 ve 0 0 başlangıç vektörüyle çarparsak yeni bir vektör elde ederiz. Her çarpım işlemi ayrı bir mantık kapısı, yani yeni bir kuantum bilgisayar işlemidir. Bu cümleyi dikkatle okursanız her kuantum mantık kapısının farklı bir matrisle gösterildiğini fark edersiniz. Vektörler değiştikçe kuantum durumları da değişecektir. Şimdi gelelim yazının başında söylediğim püf noktasına:

İlgili yazı: Neden Işıktan Hızlı Gidemeyiz?

 

Kuantum bilgisayarların püf noktası

Diyelim ki 0 0 durumunu resimdeki vektörle gösterilen bir kuantum mantık kapısından geçirerek bir sonuç durumu elde ediyoruz. Sonra da 1 0 başlangıç durumuna farklı bir vektör uyguluyor ve aynı sonuca ulaşıyoruz! İki farklı işlemde neden aynı sonucu alıyoruz? Bu sorunun yanıtı “aynı sonucu veren iki farklı kuantum işleminin süperpozisyonunu nasıl yazarız” sorusunda yatar. Örneğin resmin en sağına bakınca ne görüyorsunuz? Bu süperpozisyonda negatif sayılar da var ve bu gayet normaldir.

Bir kübitin hangi sonuç durumuna ne olasılıkla çökeceğini göstermek için +/- işaretine bakmadan sayıların mutlak değerini almamız yeterlidir. Öyle ya, süperpozisyonlar birer modüldür: Bir modüldeki 1 değeri iki -1’in çarpımı veya iki +1’in çarpımından türeyebilir. Hiç fark etmez. Üstelik 8, 10 kübite geçtiğinizde modüller karmaşık sayılar da içerecektir. 2ⁿ karmaşık sayıdan türeyen vektörel boyut sayısı, 2ⁿ reel sayılı boyut sayısının iki katıdır. Meraklısına bir ipucu daha vereyim:

Nasıl ki hem -1 çarpı -1 hem de + 1 çarpı + 1 işlemi 1’e eşittir, karmaşık sayıların sonuçları da her zaman reel sayılara eşittir. Zaten bırakın kuantum bilgisayarları, kuantum fiziğinde bir işlem yapmak için bütün karmaşık sayıları reel sayılara indirgeyerek çıktı almamız gerekir. Buna yeniden normalleştirme deriz ki nesnel gerçeklikle işleyen insan beyni de son kertede reel (gerçek) sayılarla çalışıyor gibidir. Oysa kuantum bilgisayarlar karmaşık sayılarla çalışır. Her ne kadar anlayabileceğimiz çıktılar verseler de bu böyledir. Kuantum bilgisayarlar aklımızın asla almayacağı birer kara kutu gibidir. Şimdi göreceğimiz gibi kuantum bilgisayarların harika olmasının sebebi budur: 

İlgili yazı: Hayat Neden Var?

 

Kuantum bilgisayarlar neden harikadır?

Kuantum bilgisayarların değeri nedir, değer önerisi nedir? Klasik bilgisayarlar gayet güzel çalışıyorken neden kuantum bilgisayar kullanalım? Örneğin altı kübitli şu kuantum bilgisayar işlemine bakalım: 6 kübitlik bu işlemi 2⁶, yani 64 boyutlu bir karmaşık sayı faz uzayında yapıyoruz. Vektörümüzü 64B bir hiperküre üzerinde akla hayale gelmez boyutlarda oynatıyoruz! İlk bakışta aşırı karmaşık görünüyor değil mi? Nitekim klasik bilgisayarlar bu işlemi binlerce adımda tamamlar. Oysa 6 kübitli bir kuantum bilgisayar aynı işlemi sadece dört kısa aşamada tamamlar! 😮 Süper hızlı demeyelim de adım sayısını azalttığımız için süper çabuk ama neden öyle?

Klasik bilgisayar tek tek tüm temel kuantum durumlarını işler ve resimdeki işlem ağaçlarını tek tek izler. Oysa kuantum bilgisayarlar her adımı tüm temel durum kombinezonlarıyla birlikte tek adımda tamamlar. Sonuçta kübitler süperpozisyondayken her adımdaki tüm süperpozisyon kombinezonlarını tek seferde, paralel olarak hesaplar. Kısacası kuantum bilgisayarlar mutlak paralel bilgisayarlardır.

Şimdi Bell eşitsizliğini hatırlayın: Aynı işlem en az üç farklı sonuç verebilir. Dolayısıyla işlemi tamamlamak için gereken tüm temel başlangıç durumları görmek üzere aynı işlemi birkaç kez yapmamız gerekir. Hatta kuantum ışınlamanın ışıktan hızlı iletişime izin vermemesinin sebebi budur. Yine de kuantum bilgisayarlar bunu çok daha çabuk yapacaktır. Açıkçası burada verdiğim temel bilgiler kuantum bilgisayarların neden harika olduğunu göstermeye yetmez. 😀

Kuantum bilgisayarların şifre kırması

Bunun en önemli örneği de asal sayılara dayalı şifrelemeyi kırmakta kullanılan Shor algoritmasıdır. Klasik bilgisayarlarda şifrelemede kullanılan asal sayıları bulup şifreyi kırmak yıllar alır. Yeterince kübit içeren bir kuantum bilgisayar ise bunu muhtemelen birkaç dakikada başaracaktır. Gerçi kuantum bilgisayarlar sadece bugün kullanılan klasik şifreleri kıracak. Üstelik elimizdeki deneysel kuantum bilgisayarlar bunu yapacak kadar güçlü değil. Gelecekte ise en azından bir süre boyunca kuantum bilgisayara dayanıklı şifreler kullanacağız. Dolayısıyla kişisel verileriniz şimdilik güvende (?). Oysa kuantum bilgisayarların harika olmasının asıl nedeni başkadır:

İlgili yazı: Dünyadaki En Ölümcül 5 Toksin Nedir?

 

Kuantum bilgisayarların potansiyeli

Yapay zekayla insan zekası arasındaki 10 fark nedir yazısında, yapay zekanın bir kara kutu olduğunu gördük. Yapay zeka bir karara binlerce olasılığı değerlendirerek varır. Bazen de milyonlarca olasılığı… ama bu ara karar ağacını aklında tutamaz. Dolayısıyla yapay zeka doğru veya yanlış bir karar aldığında bu kararı nasıl aldığını bilmez. Oxford Üniversitesi felsefe profesörü Nick Bostrom’la yaptığım söyleşide belirttiği gibi işte bu yüzden yapay zeka bir saatli bombadır.

Gelecekte süper zeka birden çıldırıp bizi yok edebilir. Elon Musk’ın Neuralink şirketiyle insan beynini bilgisayarlara bağlayan telepatik interneti geliştirme idealinin altında bunu önleme kaygısı yatıyor. Tabii söylediklerine inanırsak… Oysa kuantum bilgisayarlar çok daha büyük bir potansiyele sahiptir: Tüm evreni tek denklemle göstermek için büyük birleşme teorisi, kuantum kütleçekim kuramı ve nihayet her şeyin teorisini geliştirmemizi sağlayabilirler.

Kuantum bilgisayarlar bir ihtimal N=NP önermesini ve Riemann hipotezini kanıtlayabilir. Evren neden var sorusunu en azından fizik biliminde yanıtlayabilir. Neden derseniz: Biz insanlar sadece aklımızın erdiği matematik teorilerini keşfedebiliyoruz. Oysa yukarıdaki soruların yanıtı seri bilgisayar olarak çalışan insan aklının asla ermeyeceği, asla kendi başımıza bulamayacağımız teorilerde yatıyor olabilir.

Artık piyangodan ne çıkarsa

Kuantum bilgisayarlar paralel çalıştığı ve kapalı kutu olduğu için piyangoda şansımıza büyük ikramiye çıkabilir. Kuantum bilgisayar bütün bu sürpriz teorileri geliştirip önümüze koyarsa bu bilim, bilinç ve zihin felsefesinde en köklü devrim olacaktır. Bu da tanrının aklından geçenleri bilmek gibi bir şeydir. Peki kuantum bilgisayarlar bize dünya dışı zekadan daha yabancı olur mu? Kuantum yapay süper zeka, klasik yapay süper zekadan daha tehlikeli olup gelecekte bizi yok eder mi?

Bunların yanıtını bilmiyoruz ama bekleyip göreceğiz. Siz de insan bilincini matematikle kodlamak mümkün mü  diye sorabilir Einstein’ın tuhaf uzaktan etki kavramını merak edebilir ve sanal parçacıkların gerçek olup olmadığını sorgulayabilirsiniz. Kuantum zekaya hazırlık için sağlıklı düşünme yetkinliğini geliştirmek üzere Felsefe nedir? Nasıl akıl yürütür ve fikir geliştiririz? yazısını da okuyabilirsiniz. Bilimle ve sağlıcakla kalın. 😊

Kuantum bilgisayarlara giriş

¹Quantum Algorithm Implementations for Beginners
²Simulating physics with computers
³Quantum Computing for Undergraduates: a true STEAM case