Pi Sayısı Nedir ve Newton Nasıl Hesapladı?

Pi sayısı nedir ve nasıl hesaplanır? Isaac Newton Pi (π) sayısını entegral denklemine nasıl ekledi? Matematikçiler 2000 yıl boyunca Pi sayısını hesaplamak için çok zor bir yöntem kullandılar. Bu yüzden de 3,14 olarak kısaltılan Pi’ye birkaç ondalık basamak eklemekten öteye gidemediler. Sonra Newton geldi, ikiterimli teoremi adeta paramparça etti ve matematiği kırıp oyunun kurallarını değiştirdi.

Newton, Pi sayısını kendi icat ettiği entegrallere ekleyerek en kesin şekilde hesaplamamızı sağladı. Böylece modern bilim ve teknolojinin temelini attı. Peki Newton, Pi sayısıyla modern mühendisliği nasıl başlattı ve biz teknolojide ileri gitmek için neden matematikle diğer temel bilimleri öğrenmeliyiz? Günümüzde çanak antenleri uyduya çevirmekten yazar kasa kağıtlarını makineye takmaya dek hemen her alanda pi sayısını nasıl kullanıyoruz? Pi’nin öyküsünü bilim ve matematik tarihiyle görelim.

İlgili yazı: Gerçek Adem: ilk insan ne zaman yaşadı?

 

Pi sayısı sonsuzdur

Pi sayısının sonsuz basamaklı bir ondalık sayı, yani irrasyonel sayı olduğunu 1768’de İsveçli matematikçi Johann Lambert kanıtladı. İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılar gibi basit bir kesirle yazılamayan reel sayılardır. Örneğin 3/2 = 1,5 bir rasyonel sayıdır. Pi sayısı ise 3,14159… diye uzar gider ve bunun hangi kesrin bölümü olduğunu bilemeyiz.

Elbette irrasyonel sayı akıl dışı sayı demek değildir. Bu terimin matematiksel anlamı farklıdır. “Rasyo” kökü matematikte oran anlamına gelir. Biz de kesirli sayılarda bunu payın paydaya bölümü olarak yazarız. Pi ise sonsuz ondalık basamaklı bir sayı olduğu için hangi kesrin bölümü olduğunu bilemeyiz. Kesrini bilemediğimiz sayılara irrasyonel sayılar deriz.

Oysa Pi sayısını anlamanın yolu temel geometriden yani Pi’yi görselleştirmekten geçer. Bunu yapmanın en basit yollarından biri de pizza dilimleri kullanmaktır. 😊 Bir bütün pizza alın, kenarını kesin ve pizzanın tam ortasından yatay olarak geçirin. Bu kenar dilimlerinin yan yana dizilmiş aynı boydaki üç pizzadan biraz uzun olduğunu göreceksiniz. İşte bu Pi’dir:

Pi sayısı sonsuzdur ama genellikle 3,14 olarak yazarız: π=C/d. Pizzanın alanı da pi sayısıyla yarıçapının karesine eşittir: πr². Neden derseniz: Bu sefer pizzayı çok ince üçgen dilimler halinde kesin. Pizzadan çıkan bütün dilimleri birinin ucu yukarı diğerinin ucu aşağı bakacak şekilde, yani dikdörtgen olarak dizin. Dikdörtgenin uzun kenarı orijinal pizza çevresinin yarısıdır; çünkü pizzanın dairesel kenarı dikdörtgenin üst ve alt uzun kenarları arasında ikiye bölünmüştür. Bunu πr olarak yazarız.

Dikdörtgen pizzanın faydaları

Öte yandan dikdörtgenin genişliği, yani kısa kenarının uzunluğu pizzanın yarıçapına eşittir. Bunu da r olarak yazarız. Dikdörtgenin alanı da birbirine dik iki kenarının, yani bir uzun kenarla bir kısa kenarın çarpımına eşittir. Bunu da uzun kenar (πr) çarpı kısa kenar (r) olarak yazarız. Bu durumda dikdörtgenin alanı πr² olur. Bu da pizzanın alanına eşittir; çünkü bu dikdörtgeni yuvarlak pizzadan kestiğimiz ince dilimlerle oluşturduk. Peki 2400 yıl önce matematikçiler Pi sayısını nasıl hesapladılar? En bariz şekilde:

İlgili yazı: Kodlama İçin En Gerekli 16 Programlama Dili

 

Pi sayısı hesaplıyoruz

O zamanlar dairesel pizza yok ama dilimleyecek daire kavramı vardı. Nitekim antik matematikçiler daha Pi sayısı 3,14 olarak hesaplanmadan önce Pi’nin üçle dört arasında bir sayı olduğunu biliyordu. Mesela bir daire alın ve içine altıgen çizin. Altıgenin kenarları bir birim uzunluğundaysa dairenin çapı iki olur (resme bakın). Altıgenin çevresi altı birim olursa dairenin çevresinin bundan büyük olması gerekir (düzenli bir altıgeni 6 eşkenar üçgene bölebilirsiniz ve altıgenin genişliği çemberin çapı olur). Daire içindeki altıgenin kenarlarıyla daire arasındaki boşluk bunu gösterir.  Bu durumda Pi’nin 6/2’ten büyük olması gerekir. Pi’nin üçten büyük olacağını gördük. Peki dörtten küçük olduğunu nereden biliyoruz?

Bu kez dairenin çevresine bir kare çizin. Altıgenin bir kenarını bir birim aldığınız ve bu da çemberin yarıçapı olduğu için karenin bir kenarı 2 birim ve çevresi 8 birim olacaktır. Bu da dairenin çevresinden uzundur. Daire ile karenin kenarları arasındaki boşluk bunu gösterir. Bu durumda Pi’nin 8/2’den küçük olması gerekir. Böylece Pi’nin dörtten küçük olduğunu da gördük ki bu binlerce yıldır biliniyordu.

Arşimet’in katkıları

Ardından, 2250 yıl önce Arşimet (Archimedes) geldi ve bu yöntemi iyileştirdi. O da işe daire içine çizili altıgenle başladı ama onu da dilimleyerek on iki kenarlı yaptı. Yine bir kenarını bir birim alarak Pi’yi hesapladı. Sonra 12 kenarlıyı ikiye bölüp 24 kenarlı yaptı ve onu da ikiye bölerek 48 ve nihayet 96 kenarlıya ulaştı. Sonunda Pi’nin 3,1408 ila 3,1429 arasında bir sayı olduğunu hesaplayarak tatmin oldu. 2250 yıl öncesi için hiç fena değil… Kısacası eskiler Pi’yi daire içine çizdikleri şekilleri gittikçe ince dilimlere ayırarak hesaplıyordu. Böylece Pi hesaplama yarışı başladı:

İlgili yazı: Düz Dünya Teorisini Çürüten 12 Kanıt

 

Pi sayısı yarışları

Pi sayısı gittikçe daha ince hesaplamalarla Çinliler, Hintliler, İranlılar ve Arapların elinden geçti. Her matematikçi kendi katkısını yaptı. Sonunda 16. yy’da Fransız matematikçi Francois Viete geldi ve Pi’yi hesaplamak için iyice aşırıya kaçtı. Viete dairenin içine tam 393 bin 216 kenarlı bir şekil çizdi! Ne olmuş yani? 17. yy’da Hollandalı Ludolph van Ceulen onu ezip geçti. Ceulen hayatının 25 yılını bu işe adayarak tam 2⁶² kenarlı bir çokgen çizdi! Bu da 4 kentilyon 611 katrilyon 686 trilyon 18 milyar 427 milyon 387 bin 904 kenarlı bir çokgendi! 😮 Bu sayı, bu inanılmaz başarı Ceulen’in mezar taşına yazıldı.

Oysa 20 yıl sonra Christoph Grienberger, Pi sayısını 38 ondalık basamağa dek hesaplayarak bu rekoru kırdı. İşte o zaman matematikçiler Pi sayısının sonsuz olduğundan iyice kuşkulanmaya başladılar. Hesapla hesapla bitmiyordu ve buna şaşırmamak gerekirdi. Sonuçta çember bir noktadan eş uzaklıktaki sonsuz sayıda noktadan oluşur. Bu da bir daireyi sonsuz incelikteki sonsuz dilime, yani sonsuz kenarlı bir çokgene bölebileceğiniz anlamına gelir. O da Pi’nin sonsuz ondalık basamaklı olduğunu gösterir.

Geriye Pi’yi her seferinde daha kesin hesaplamak kalıyor ama bu iş artık bir insan ömrünü aşıyordu. Bunun çok daha kolay bir yolu olmalıydı. Nitekim Grienberger, Pi’yi bu şekilde hesaplayan son kişi oldu. Sonuçta Newton gelmiş ve Ceulen’in 4 kentilyonluk Pi sayısını sadece 50 terimle hesaplamanın bir yolunu bulmuştu. Pi hesaplamak bu kadar kolay olursa kim ömrünü buna adasın ki? Peki Newton entegrallerle matematikte nasıl devrim yaptı?

İlgili yazı: Dünyadaki En Ölümcül 5 Toksin Nedir?

 

Pi sayısı ve Pascal Üçgeni

Bunu Pascal Üçgeniyle görelim. Yıl 1666. Newton hıyarcıklı veba salgını yüzünden evinde karantinaya girmiş durumda ve canı sıkılıyor. İleride yerçekimini tanımlayacak Newton mekaniğinin temelleri bu sırada atılıyor ama ondan önce gelen bir devrim var. Newton (1 + x)² gibi basit ifadelerle oynuyor. Nitekim bunu 1 + 2x + x² olarak açabilirsiniz. Peki (1 + x)³? Bu da 1 + 3x + 3x² + x³ olur. (1 + x)⁴ ve (1 + x)⁵ ifadelerini de 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴ ve 1 + 5x + 10x² + 10x³ +5x⁴ + x⁵ olarak yazabilirsiniz.

Oysa Newton bütün bu sıkıcı matematik işlemlerini baypas edip doğrudan sonuca gitmesini sağlayacak bir model, bir kısa yol olduğunu biliyordu. Siz de x ve xⁿ (üslü x) terimlerinin çarpanlarına bakarsanız bunların resimdeki gibi Pascal Üçgeninde yer aldığını görürsünüz. (1 + x)ⁿ ifadesindeki n üssü üçgendeki satırlara karşılık geliyor. Pascal Üçgenini Grekler, Hintliler, İranlılar, Çinliler ve diğer kültürler biliyordu. Üçgendeki her sayının (üçgenin tepesi) hemen altında olan iki sayının (üçgenin tabanının iki köşesi) toplamı bir alttaki sırayı veriyordu.

Böylece (1 + x)² gibi bir ifadeyi oturup cebire dalmadan üçgen üzerinde basitçe hesaplıyordunuz. Pascal Üçgeni ilkokulda ezberlediğimiz çarpım tablosuna benziyor ve işimizi kolaylaştırıyordu. Her ne kadar matematiğin evrensel bir dil olduğu tartışmalı olsa da Pascal Üçgeni gibi kısayollar matematiğin en azından insanlar için evrensel olduğunu gösteriyor. Resme bakın: Birçok kültür üçgeni kendince çizmiş. Hintçe ve Çince bilmesem de Pascal Üçgeni olduğunu anlıyorum. 😊

Aşkın matematik

Öyle ki Dünya dışı zeka varsa ve eline insan eseri modern bir Pascal Üçgeni alırsa o bile bu karşılaştırmayı yapabilir. Bu kültürleri ve insanlığı aşan bir olgudur. Uygarlığımız yok olduktan milyonlarca yıl sonra bile, uzaylılara bir zamanlar Dünya’da gelişmiş bir uygarlık olduğu yönünde mesaj vermeyi sürdürecektir. İşte Newton sonsuzlukla böyle oynuyordu! Şimdi gelelim Pi sayısını hesaplamak için ikiterimli teoremi nasıl kırdığına:

İlgili yazı: Zamanda Yolculuk Etmenin 9 Sıra Dışı Yolu

 

Pi sayısı ve ikiterimli teorem

Zamanla insanlar (1+x)¹⁰ ifadesini bile 1 dakikadan kısa sürede hesaplamaya yarayan Pascal Üçgeninin genel formülünü buldular. Böylece üçgenle uğraşmaya gerek kalmadı. Örneğin (1+x)ⁿ ifadesini 1 + nx + n(n-1)x²/2! + n(n-1)(n-2)x³/3!… olarak sonsuza dek hesaplayabiliriz. Burada 2 ve 2 faktöriyelli (çarpınımlı) ifadeler sırasıyla (1+x)² ve (1+x)³’e karşılık geliyor. İşte ikiterimli teorem budur. İkiterimli; çünkü 1 ve x terimleri var ve teorem; çünkü bu ifadeleri bir dizi halinde kümeleyebiliyorsunuz. Dizinin çarpanları da yukarıda belirttiğim gibi Pascal Üçgenindeki sayılara karşılık geliyor.

Newton’ın çağdaşları iki terimli teoremi biliyordu ama kimsenin aklına onun yaptığını yapmak gelmedi. Newton bu teoremi aldı ve şey… Batman’in düşmanı Bane’nin, Yarasa Adam’ın belini dizinde kırması gibi ikiye kırdı. Bu bir kelime oyunu değil. Gerçekten de teoremi ikiye kırdı ve şimdi bunu nasıl yaptığını göreceğiz. Standart ikiterimli teoremde n pozitif, yani sıfırdan büyük bir tamsayıdır. Sonuçta nx + xⁿ cebrini belirli bir sayıya kadar çözersiniz. Belki 10 kez, belki 20 kez… Bu size kalmış ama bu diziyi örneğin 0,16 kez tekrarlamazsınız. İlk bakışta bariz ve mantıklı.

Oysa matematik sınırları zorlamadan gelişmez. Newton teoremi (1+x)^-n olarak yazdı ve x^-1 gibi üslü sayılarla hesapladı. Örneğin 1/1+x=1+(-1)x+-1(-1-1)x²/2!+(-1)x+-1(-1-1)(-1-2)x³/3!… dizisini elde etti. Bunu işlettiğinizde 1/1+x=1 -1x+1x²-1x³+1x⁴… gibi değişmeli bir +1 ve -1 dizisi elde edersiniz. Nitekim n için negatif tamsayı kullanırsanız Newton’ın teoremi sonsuz toplamlar dizisi üretir. Bunu nasıl kanıtlıyoruz? Dizideki n-1, n-2, n-3 ifadelerinde n=4 olursa dizide n -n, yani 4 -4 = 0 toplamına ulaşacaksınız.

Negatif n terimi ise farklıdır

Dizide n – n ifadeli paya ulaştıktan sonra sonsuza dek sürecek tüm toplamların 0 olduğunu göreceksiniz. 0 + 0 + 0 + 0… Oysa bu sadece n terimi pozitif tamsayı olduğunda geçerlidir. Negatif tamsayı olduğunda ise (mesela -4) -4 – 4= -8 olacak ve dizi asla sonlanmayacaktır. Demek ki Newton’ın ikiterimli teoremi pozitif tamsayılar için sonlu ve negatif tamsayılar için sonsuzdur. Peki bu dizinin baştaki 1/1+x’in doğru çözümü olduğunu nereden biliyoruz?

Biliyoruz; çünkü 1/(1+x) ifadesini (1+x) ile çarparsanız 1’e eşit olur. Eşitliğin diğer yanındaki (sonsuz diziyi) de (x+1) ile çarparsanız baştaki 1 hariç tüm terimlerin birbirini sildiğini ve eşitliğin 1=1 olduğunu görürsünüz. Bu da doğrudur! İşte Newton buna bakarak n=-1 olan ikiterimli teoremi amacı dışında yepyeni keşifler yapmak için kullanabileceğini anladı. Buna matematikçinin sezgisi de diyebilirsiniz: “Bu teoremde iş var. Bakalım nerelerde kullanabilirim” dedi ve işi pi sayısını hesaplamaya getirdi:

İlgili yazı: Uzay Nasıl Bükülüyor ve Evren Nasıl Genişliyor?

 

Pozitif ve negatif Pascal üçgenleri

Şimdi Pascal Üçgenine geri dönelim. Bu üçgen 1’le başlıyor, yani tepe noktasında 1 yazıyor ki bu da klasik ikiterimli teoremle hesaplanıyor. Newton’ın n=-1’li ikiterimli teoremi ise Pascal Üçgeninin tepe noktasının üstünde negatif sayılardan oluşan yeni bir üçgen başlatıyor (resme bakın). Sonuçta 0 +1 = 1’dir ve bu da klasik üçgenin tepe noktasındaki 1’i verir. Ayrıca yeni üçgenin tabanı teoremdeki sonsuz dizi gibi değişmeli +1 -1 sırasını verecektir. Bu sebeple yeni üçgen tabanının sol köşesindeki 1 sayısı klasik üçgenin tepe noktasındaki 1’in hemen üstünde yer alıyor.

Klasik üçgende n pozitif tamsayı olduğundan bu üçgenin dışındaki tüm sayılar 0’dır ve sayılmaz. Bu da bize klasik üçgenimizi verir. Ayrıca yeni üçgenin tabanındaki +1 -1’ler de 0’a eşit olup iki üçgen arasındaki boşluğu verir; çünkü 0’ları saymayız. Dolayısıyla yeni üçgen alt üçgenin sağ üstünde yer alıyor ama işin ilginci ne biliyor musunuz? Bir an resimdeki yeni üçgeni oluşturan negatif sayılara boş verin. Yeni üçgen bizim klasik üçgenin yan yatmış halidir! Klasik üçgeni sağ kenarının yeni üçgenin sol kenarıyla üst üste bineceği şekilde çevirirseniz iki üçgendeki sayıların örtüştüğünü göreceksiniz. 😮

Oysa Newton ikiterimli teoreme tamsayıları uygulamakla kalmadı. Bunun ardından (1+x)^1/2 gibi kesirli üsleri de kullanmaya başladı. Teoremi ikiye kırdı derken kastımız budur. Bu ifade (1+x)’in kareköküyle aynı şeydir. Newton ikiterimli teoremin karekök dizisinin de sonsuz olup olmadığını merak etti. Yeni dizi de sonsuz görünüyordu. Bu durumda klasik Pascal Üçgenine gidip üçgeni paramparça edebiliriz. Pozitif tamsayı satırlarının arasına kare köklü veya küp köklü sayılardan oluşan satırlar ekleyebiliriz.

Pi sayısı ve kesirli üsteller

Aslında üçgenin satır aralarına ¼ ve -1/10 gibi istediğiniz sayıyı ekleyebilirsiniz. Üçgeni ne tamsayı ne de pozitif tamsayı olmadan kullanabilirsiniz. Böylece 3’ün karekökünü kolayca hesaplarsınız. İkiterimli teoremde 3’ün karekökünü 4 – 1’in karekökü olarak yazarız. Bunu da 4 (1-1/4)’ün karekökü olarak yazarız. Sonra 1-1/4’ün karekökü x 2 olarak yazarız ve böylece 3’ün karekökünün 1,73… olduğunu gösteririz. Hatta bunu da 2 (1-1/4)^1/2 olarak yazıp resimdeki gibi açarsak 3’ün karekökünü istediğimiz kadar ondalık basamakla çok kesin olarak yazabiliriz. Peki Newton neden n=1/2’ye kafayı takmıştı?

İlgili yazı: 5 Soruda Paralel Evrenler

 

Newton ve Pi sayısı

Newton’ın n=1/2 olan ikiterimli teorem açılımını araştırmasının nedeni 1 birimlik bir dairenin denkleminin x² + y² = 1 olmasıdır. Bu durumda dairenin üst yarısı y = (1-x²)^1/2 olur. Bu da ikiterimli teoremin aynısıdır. Sadece yeni denklem dizisinde (1-x)ⁿ ve açılımında x yerine x² koyarsınız. Böylece (1-x²)^1/2 açılımını çözersiniz. Bu da denkleme – işaretleri ekleyerek x’in iki katını almak anlamına gelir. Peki o zaman ne olur? O zaman dairenin üst yarısının denklemi irrasyonel sayılardan oluşan bir dizidir. Üstelik dairenin üst yarısının çapı ve yarıçapı da dairenin çapıyla yarıçapına eşittir (resme bakın). 😉

Şimdi diyeceksiniz ki “Ama hocam, böylece aynı dairenin denklemini iki ayrı şekilde yazdınız. Güzel bir zihin alıştırması ama şimdi ne olacak? Bu ne işe yarayacak?” Hemen ipucu vereyim: Matematikte aynı şeyi iki farklı şekilde yazabildiğiniz anda her türlü matematiksel mucizeyi gerçekleştirip yeni buluşlar yapabilirsiniz. Newton da Pi sayısını hiç kimsenin yapamadığı kadar kesin olarak bu denklemlerle hesaplamıştır. Nasıl yaptı derseniz tabii ki kendi icat ettiği kalkülüs ve onun açılımı olan entegralle:

Nasıl ki ikiterimli teorem Pascal Üçgeninin açılımıdır, entegral de kalkülüsün açılımıdır (matris de çok değişkenli kalkülüstür). Bu bağlamda entegral sonsuz sayı dizilerindeki sayıları entegre etmek demektir. Böylece sonsuz küçüklüklerden sonlu büyükleri hesaplayabilirsiniz. Hacim ve alanları artık böyle hesaplıyoruz. Bildiğiniz gibi stilistik bir kahve kupası basit bir silindir değildir ve doğada taş parçaları gibi düzensiz hacimli nesneler vardır. Entegral bunların hacmini (oylum) hesaplamaya izin verir.

Nasıl mı?

Çember de merkezden eş uzaklıktaki sonsuz noktadan oluştuğundan ikiterimli teoreme uygulanacak sonsuz bir sayı dizisi verecektir. Mesela (1-x²)^1/2 ifadesini 0 ve 1 arasında entegral alırsanız (_o∫¹(1-x²)^1/2dx=[1-1/2x²-1/8x⁴….]) bu 1 birimlik bir dairedeki çeyrek dairenin alanını verir (resme bakın). Bir birimlik dairenin alanı ise πr² üzerinden sadece π olur; çünkü r (yarıçap) bir birimlik dairede 1’e eşittir.

Öyleyse çeyrek dairenin alanı π/4’tür. O zaman _o∫¹(1-x²)^1/2dx=[1-1/2x²-1/8x⁴….] dizisinde _o∫¹(1-x²)^1/2dx yerine π/4 koyarız ve bu da π/4=[1-1/2x²-1/8x⁴….] dizisi olur. Bunu π=4[1-1/2x²-1/8x⁴….] olarak da yazabiliriz. Böylelikle elinizde irrasyonel sayılardan değil, basit aritmetik kesitler, yani ondalık basamakları sonlu rasyonel sayılardan oluşan bir sonsuz dizi olur. Burada x = 1 dediğinizde Pi sayısını istediğiniz ondalık uzunlukta hesaplayabilirsiniz! Oysa Newton çok daha ileri gitti ve son bir şey ekledi:

İlgili yazı: 14 Yaşında Kendini Donduran Kız

 

Pi sayısı ve matematik makaleleri

Kötü bir matematik makalesinde sadece bir problemi çözersiniz. Bu da aritmetik bir hesaplamadan ibarettir. İyi bir matematik makalesinde ise yepyeni fikirler vardır ve bunlar ufkumuzu genişletir. Newton da dedi ki sonsuzluk sonsuzluktur, yani ölçekten bağımsızdır (Bkz. Döngüsel uyumlu kozmoloji). Bir teoremi 0’la 1 arasındaki sonsuz ondalık basamaklı sayıyla kanıtlamakla 0 ile 2 arasında kanıtlamak aynı şeydir. Üstelik 0’la 2 arasında kanıtlamak gereksiz hamallıktır.

Newton’ın getirdiği yenilik de buydu: Sonsuz bir diziyi olabildiğince kısa sürede olabildiğince az işlemle kanıtlamak için entegrali ikiye kırdı (dedim ya adam Batman’in belini kıran Bane gibi…). Entegrali _o∫¹ olarak yazmak yerine _o∫^1/2 aralığında yazdı! Bu durumda _o∫¹(1–x²)^1/2dx=[1–1/2x²–1/8x⁴….] dizisi _o∫^1/2(1-x²)^1/2dx=[1/2–1/2.1/3(1/3)³–1/8.1/5(1/2)⁵….] olacaktı. Böylece x’li bütün terimler dörtte bir küçülecekti. Peki ½ ile entegral alırsanız bir birimlik dairede hesapladığınız alan nedir? Çeyrek dairenin bir bölümüdür ki bunu resimde görebilirsiniz:

Bunu da dairede 30 derecelik açıyla ikiye bölebilirsiniz. Bu alan da π/12 olur bu dilime bitişik ½ birim tabanlı dik kenarlı üçgenin uzun dik kenarı da 3’ün karekökü/2 birim olur. Öyleyse ½ ile entegral alınan dizimiz π/12 + 3’ün karekökü/8 = [1/2–1/2.1/3(1/3)³–1/8.1/5(1/2)⁵….] olur. Bunu da π = 12 [1/2–1/2.1/3(1/3)³–1/8.1/5(1/2)⁵…. –3’ün karekökü/8] olarak yazarız. Diziyi sadece ilk iki terimle yazdım ama ilk beş terimli diziyi resimde görebilirsiniz. Siz de Pi’yi sadece ilk beş terimle hesaplarsanız Pi = 3,14161 olur. Bu da Pi sayısını 100 binde 2 kesinlikle hesaplamak demektir!

Newton’ın dehası

Ceulen’in ömrünün 25 yılını vererek hesapladığı +4 kentilyonluk Pi hesaplamasını bu dizideki ilk 50 terimle çözmek mümkündür. Newton 25 yıllık hesaplamayı birkaç günlük işe indirgeyerek mühendisliğin önünü açtı. En büyük engeli kaldırdı; çünkü mühendislik araçları, teknoloji ürünleri karmaşık yüzey ve hacimli şekillerden oluşur. Bir silindiri, bilye yatağı ve manivela sistemini düşünün. Yüzlerce parçadan oluşan bir otomobil motor bloğunun tam hacmini düşünün. Üstelik Newton’ın birkaç günlük işini laptoplarımız birkaç saniyede yapıyor ama Newton’ın kalkülüsü sayesinde… 😉

İlgili yazı: İnternette teknik takip ve gözetimi önleme rehberi

 

Pi sayısı ve modern teknoloji

Pi sayısını çanak antenleri uydulara yönlendirmek için kullanıyoruz. Uydu TV’nizi ayarlamaktan askeri istihbarat uydumuz Göktürk 2 ve küresel konumlandırma uydularına kadar her alana Pi sayısı egemendir. Bir de motorların tahrik sistemi vardır (actuator, çalıştırıcı, eyleyiciler). Bunlar motorların güç aktarımıyla hareketli parçaları oynatmasını sağlar. Bir uçağın flapları, aleronları, dümeni ve açılır kapanır jet motoru valfleri hep tahrik sistemiyle çalışır. Pi sayısı bu alana da egemendir.

Elektrik motorlarındaki denetçilerden (kontrolör) örnek verirsek: Bunlar motora tahrik birimini ne kadar hızlı döndüreceğini söyler. Bunun için de denetçiyle motor hızını aynı frekansa getirmeniz gerekir, yani motorun dakikada dönme hızı (rpm) eşlenir… Bunun denklemini Omega = 2π x frekans (Hz) olarak yazarız. Otomobilinizde tekerleklerin ne kadar hızlı döndüğünü gösteren takometre de böyle çalışır.

Gerçi eşitliğin iki tarafındaki 2π terimleri birbirini götürecektir. Oysa Pi terimlerini sadeleştirme aşamaları motorun tahrik sistemini belirli bir devirde çalıştırmak için ne kadar güç kullanacağını hesaplamamızı sağlar. Pi sayısı sayesinde rafineri ekipmanlarındaki dev silindirlerden yazarkasaya takılan kâğıt rulolara dek tüm silindirlerin hacmini hesaplarsınız. Elbette kalorifer dairesindeki sıcak su kazanının hacmini de… Pi, Newton sayesinde modern hayata girmiştir. Peki Newton neden önemlidir?

İlgili yazı: İlk Canlı ve Ortak Ata LUCA Ne Zaman Yaşadı?

 

Pi sayısı, Newton ve Leibniz

Buna kalkülüs, bilim ve felsefe bağlamında tartışabiliriz. Neden derseniz Alman doğa filozofu Leibniz ve İngiliz bilim insanı Newton kalkülüsü birbirinden bağımsız olarak keşfetmiştir. Leibniz, Newton’dan birkaç yıl sonra keşfetmiştir… Buna ek olarak İngiltere’nin mühendislik ve teknoloji alanında 19. yy sonlarına dek Almanya’dan ileri olduğunu da biliyoruz. Bunun birçok sebebi var ama ben bilim, teknoloji ve ulusal kalkınma arasındaki ilişkiyi bilim–felsefe diyaloğuyla göstermek istiyorum.

Hem Newton hem Leibniz tanrıya inanıyordu. Oysa Leibniz daha çok mantık, felsefe ve matematiğe odaklanırken Newton doğa olaylarını anlamak için fiziğe yöneliyordu. Nitekim Galileo’nun asıl takipçisi olarak Newton mekaniğini geliştirmiştir. Biz de bilim tarihine baktığımızda Leibniz’in kalkülüsle daha çok formel mantık çerçevesinde ilgilendiğini, Newton’ın ise 5000 yıllık tarım tarihinde tarla ölçmekten gelen Pi sayısına yöneldiğini görüyoruz. Newton Pi sayısını öncelikle fizik ve mühendisliğe uyguladı.

Bilim ve felsefe sağlıklı bir toplum için şart olup ayrılmaz ikilidir. Öte yandan Marx’ın dediği gibi ekonomik üretim biçimleri değişince yönetim biçimleri değişir. Buna yönetişim, yani iş yapış şekilleri de değişir diyebilirsiniz. Yönetişim şekilleri sadece teknolojiyle değişir ve teknoloji de temel bilimlerle gelişir. Bunun detaylarını ayrıca yazarım ama Newton’ın Pi sayısı ile temel bilimlere odaklanmasının İngiltere’nin rekabet gücünü artırdığını düşünüyorum. Bilim ampirik, yani deneyseldir ve uygulama ister. Bu da bizi mühendisliğe ve teknolojiye götürür. Geliştirilen her aygıt ayrı bir deney seti gibidir.

Ayrıca bilim ve matematik güzeldir!

Siz de Hayat Oyunu ve Gödel Eksilik Teoremini şimdi okuyabilir ve matematikteki sonsuzlar gerçek mi diye sorabilirsiniz. Karmaşık sayıların kuantum fiziğindeki rolünü sorgulayarak matematiğin evrensel dil olup olmadığını araştırabilirsiniz. Kara deliklerin merkezinde tekillik olup olmadığını merak edip kara deliği düşenlerin dışarı çıkamamasının asıl sebebine bakabilirsiniz. Hızınızı alamayarak Riemann Hipotezi ile Asal Sayılar arasındaki ilişkinin sibergüvenlik şifrelemesindeki önemini de inceleyebilirsiniz. Ne de olsa kuantum üstünlük buna bağlı. Bilimle ve sağlıcakla kalın. 😊

Pi’nin sonsuz yaşamı

¹Efficient computation of pi by the Newton – Raphson iteration and a two-term Machin-like formula
²Newton polygons of higher order in algebraic number theory
³A new method for computing number PI
⁴Chaotic distribution of prime numbers and digits of π