Hayat Oyunu: Gödel Eksiklik Teoremi Nedir?

Matematiğin dibinde bir delik var ve bu öyle bir delik ki hiçbir şeyi yüzde 100 kesin bilemeyeceğimiz anlamına geliyor. Kuantum fiziğindeki belirsizlik ilkesi geçersiz olsa bile bu böyle: Her doğru önermenin doğru olduğunu kanıtlayamayız. Nitekim Kant insan aklı her şeyi sorabilir ama her sorunun yanıtını bulamaz demişti. Gödel bunu Eksiklik Teoremiyle formüle etti.

Peki Gödel eksiklik teoremi nedir?

Dahası eksiklik teoremi bilme yetisi için ne anlama geliyor? Bilim, felsefe ve bilgelikte ne kadar ilerleme kaydedersek edelim hep bilmediğimiz yeni şeyler mi olacak? Bilmediklerimiz bildiklerimizden fazla mı olacak? Yoksa bizzat bir şeyi bilme yetisi eksiklik teoremine mi bağlı? Önceki yazılarda matematik evrensel bir dil mi, yoksa insan doğasından türeyen herhangi bir dil mi diye sormuştuk. Matematik, felsefe ve Conway’in Hayat Oyunu’nda bilmenin imkanını görelim; çünkü fizik matematikle yapılır.

İlgili yazı: Gerçek Adem: ilk insan ne zaman yaşadı?

 

Gödel ve asal sayılar

Eksiklik Teoremini anlamak için İkiz Asallar varsayımını inceleyeceğiz. Bunlar 11 ve 13 gibi arasında sadece bir sayı olan asal sayılardır. Sonsuza kadar sayarken asalların arası açılır ve ikiz asallar da daha nadir görülür. Biz de ikiz asalların sonsuz olduğunu varsayarız ama bu kanıtlanmamıştır. İşin ilginci asla bilemeyebiliriz; çünkü basit aritmetik işlemleri yapabildiğiniz bir sistemdeki bütün doğru önermelerin doğru veya en azından tutarlı olduğunu kanıtlayamazsınız. Gödel’in iki Eksiklik Teoremi budur.

Hayat böyle aslında. Mesela 1970’te matematikçi John Conway’in geliştirdiği Hayat Oyunu böyle ki kendisini maalesef 2020’de Covid 19’dan kaybettik. Bir tür bilgisayar oyunu olan bu oyun sonsuz kare şekilli karolardan oluşan sonsuz bir ızgarada oynanır ve kuralları çok basittir. Izgarada bir takım kare hücreler vardır. Bunları istediğiniz sıra ve dizilimle yerleştirebilirsiniz.

Üç komşusu olan ölü bir hücre canlanır ve ikiden az ya da üçten fazla komşusu olan hücreler ölür. Resimdeki gibi canlı hücreleri beyaz kareler ve ölü hücreleri boş ızgarayla gösterebilirsiniz. Bir kez hücreleri yerleştirdikten sonra bunların sonsuza dek ızgaraya nasıl yayıldığı ve ne tür şekiller ürettiğini görebilirsiniz. Oysa bu hücrelerin ne yapacağını, oluşturdukları resmin ne zaman yok olacağını öngörmek imkansızdır. Bunu gösteren bir algoritma yoktur.

Bazı sorular yanıtsızdır

Belki hücreler 1 milyon veya 10¹⁰⁰ kuşak sonra yok olacaktır. Oyunun ne zaman biteceği veya bitip bitmeyeceğini bilemezsiniz. Wang Karoları denen matematik problemi de böyledir. Bu oyunda farklı renklerdeki eşkenar üçgenlerden oluşan ve her kenarı farklı renkte olan kareler alırsınız. Oyunun kuralları şudur: Kareleri yan yana dizeceksiniz ama karelerin birbirine değen kenarları aynı renkte olacak. Bunu için kareleri kaydırabilirsiniz ama çeviremez veya tersyüz edemezsiniz. Peki bu düzenle sonsuz büyüklükteki bir alanı hiç boş yer kalmayacak şekilde kaplayabilir misiniz?

Bunu kanıtlamak imkansızdır

İşin içine sonsuzluk soruları, sonsuzluk içeren önermeler girdiğinde bunların doğru olduğunu kanıtlamak mümkün değildir. İster kuantum fiziği ve Magic the Gathering kart oyunu olsun, ister yaşamın oluşumuyla evrimi, hatta evren simülasyonları bu soruların yanıtını veremezsiniz. Atomlar 1 milyon saniye sonra ne yapacak? Kart oyununu kim kazanacak? Evren simülasyonunda yarın ne olacak? Bunlar yanıtsızdır ve Gödel Eksiklik Teoremi işte bunu kanıtlar. Matematiğin eksik olduğu ve eksik kalacağını gösterir. Bunu anlamak için 150 yıl öncesine, ünlü matematikçi Cantor’a geri dönelim.

İlgili yazı: Düz Dünya Teorisini Çürüten 12 Kanıt

 

Gödel teoremine giriş

1874’te Alman matematikçi Georg Cantor matematikte devrim yaptı. Nasıl derseniz kümeler teorisini geliştirdi. Buna göre kümeler tanımlı nesnelerden oluşur. Örneğin mutfaktaki çatal bıçak kümesi… Küme içeriğinin sınırı da yoktur. Sonsuz sayıda şey veya her şeyi içeren kümeler olduğu gibi boş kümeler de vardır. Hatta boş kümeler hiçlik değildir. Onlar da matematiksel bir nesnedir ki bu da bizi Cantor sever Hilbert’e getirir ama sırayla gidelim. Cantor sayı kümeleri üzerinde çalışıyordu.

Bunları iç içe geçmiş kümeler halinde düşünebilirsiniz. Doğal sayılar, onu kapsayan tamsayılar, tamsayıları kapsayan rasyonel sayılar, rasyonel sayıları kapsayan reel sayılar ve hepsini kapsayan karmaşık sayılar… Doğal sayılar pozitif tam sayılar olup 1, 2, 3… diye sonsuza dek gider. Reel sayılar 1/3, 3/5 gibi kesirlerle pi sayısı, e ve 2’nin karekökü gibi irrasyonel sayıları kapsar.

Özetle reel sayılar virgülden önce bir tamsayı gelen ve bir virgülden sonra sonsuz basamak olan ondalık sayılardır. Soru şudur: Sonsuza dek sayabileceğimiz doğal sayılar mı daha çoktur, yoksa yine sonsuza dek sayabileceğimiz 0’la 1 arasındaki reel (ondalık) sayılar mı? Hangi sonsuzluk daha büyüktür ve sonsuzluktan büyük sonsuzluk olur mu?

İlgili yazı: Kodlama İçin En Gerekli 16 Programlama Dili

 

Sonsuzlukları sayıyoruz

Cantor dedi ki 0’la 1 arasındaki sonsuz sayıdaki reel sayıyı rastgele alt alta yazayım ama aynı sayıyı iki kez yazmadan ve böylece elimde aşağıdaki gibi sayılar olsun:

0,12345678

0,52823589457789

0,0832587950375134…

Sonra birinci sayının birinci ondalık basamağına bir ekleyeyim ve 2 olsun. İkinci sayının ikinci ondalık basamağına bir ekleyeyim ve 3 olsun. Üçüncü sayının üçüncü ondalık basamağına da bir ekleyeyim ve 4 olsun. Bu böyle sonsuza dek gitsin (aşağıya ve resme bakın):

0,22345678

0,53823589457789

0,0842587950375134…

Ardından 0’dan sonra gelen sayılar arasında bu şekilde köşegen çizerek oluşturduğumuz sonsuz ondalık basamaklı sayıyı alalım. Bunu özgün sonsuz basamaklı ondalık sayı listesiyle karşılaştıralım. Göreceğiz ki bu sayı özgün listede yoktur! Cantor dedi ki bunu sonsuz sayıda yapmanıza gerek yoktur. Sayabildiğiniz kadar sayı için yapın. Her seferinde sayabildiklerinize yepyeni bir sayı eklemiş olacaksınız.

Bu yöntemde sayılar arasında köşegen bir hat çizdiğiniz için buna Cantor’un köşegen yöntem kanıtı denir. Cantor böylece farklı tür sonsuzluklar olduğunu ve O’la 1 arasındaki ondalık sayılar sonsuzluğunun doğal sayılar sonsuzluğundan büyük olduğunu gösterdi. Aynı zamanda doğal sayılar kümesi gibi sayılabilir ve ondalık sayılar kümesi gibi sayılamaz sonsuzluklar olduğunu da gösterdi. Sayılamaz sonsuzluklar da sayılabilir sonsuzluklardan büyük olacaktı. Cantor’un böyle bir niyeti yoktu ama onun yüzünden matematikte büyük savaş çıktı:

İlgili yazı: Dünyadaki En Ölümcül 5 Toksin Nedir?

 

Cantor savaşı başlıyor

Cantor’un kanıtı matematiğin temel taşı olan 2000 yıllık Öklit geometrisine indirilen son darbeydi. Öyle ki kuantum fiziğinin önünü açan modern matematiği Cantor başlattı diyebiliriz. Oysa 19. yy sonunda bu kez Lobashevsky (Lobaşefski) ile Gauss, düz Öklit geometrisi yerine hiperbolik ve eliptik eğri geometrileri keşfettiler. Oysa matematikçiler bunları Newton ve Leibniz’in bağımsız olarak geliştirdiği kalkülüs yöntemiyle incelediğinde limitin matematikte sağlam bir tanımı olmadığını gördüler.

Limitteki sonsuzlukların kesin kanıtının olmaması 19. yy sona ererken matematikte şiddetli tartışmalar başlattı. Bir tarafta sezgiciler vardı. Bunlar Cantor’un çalışmasının saçmalık olduğu, matematiğin insan zihninin saf yaratısı olduğu ve Cantor’un sonsuzluklarının gerçek olmadığını söylüyordu. Örneğin matematik efsanesi Henri Poincaré sonraki kuşakların kümeler teorisini iyileştikleri bir hastalık olarak göreceklerini söyledi. Leopold Kronecker, Cantor’un bilimsel bir şarlatan olarak gençliği yozlaştırdığını söyleyecek kadar ileri gitti! 😮 Hızını alamayıp işe girmesini engellemeye çalıştı.

Diğer yandaysa biçimciler vardı. Bunların başını David Hilbert çekiyordu ki kendisi Poincaré’den bile ünlü olan, çok etkili bir yaşayan efsaneydi. Hilbert matematiğin bütün alanlarında çalışmıştı ve neredeyse göreliliği Einstein’dan önce bulacaktı. Hilbert Uzayı gibi kuantum mekaniği için kritik olan birçok yeni matematik kavramı geliştirmiş ve Cantor’un çalışmasına hayranlık duyuyordu.

Özetle Hilbert matematikte formel bir yaklaşım güderek Cantor’un kümeler teorisindeki sorunları çözebileceğini düşündü. Hatta 1901’de kimse bizi Cantor’un cennetinden kovamaz dedi. Vay canına! O sırada ünlü matematikçi ve filozof Bertrand Russell geldi ve Cantor’un kümeler teorisinde çelişkili bir durum olduğunu gösterdi. Böylece asıl devrim başlamış oldu:

İlgili yazı: 5 Soruda Paralel Evrenler

 

Gödell ve berber paradoksu

Kümeler her şeyi ve hatta kendini içerebilir. Mesela tüm kümeler kümesi ve içinde 5’ten fazla öğe olan kümeler kümesi kendini de içerir. Hatta kendini içeren kümeler kümesi bile vardır. Oysa kendini içermeyen kümeler kümesi dediğiniz anda sorun çıkar; çünkü kümeler kendini içermek zorundadır. Öyleyse kendini içermeyen kümeler kümesi nasıl olur? Russell, Cantor’un teorisinde başka bir çelişki daha buldu. “Kendini kendine atıfta bulunarak kanıtlama” sorununu berber paradoksuyla anlattı.

Tümüyle yetişkin erkeklerden oluşan bir köy düşünün. Bu köyün garip bir yasası var: Köy berberi tüm yabancıları tıraş etmek zorundadır. Oysa sadece kendini tıraş etmeyen köylüleri tıraş edebilir. Buna karşın berber de köylüdür, sakalı çıkar ama kendini tıraş edemez; çünkü kendini tıraş edenleri tıraş etmesi yasaktır. Bu yüzden sakalı uzar da uzar ve herkes tıraş olacak yasasını çiğnemiş olur.

Russell’ın paradokslarını duyan sezgiciler kümeler teorisinin hatalı olduğunu düşünerek sevindiler. Öte yandan Hilbert çığırından Zermelo ve diğerleri kümeler kavramını sınırlamayı başardılar. Buna göre tüm kümeler koleksiyonu artık bir küme değildi. Kendini içermeyen kümeler koleksiyonu da bir küme değildi. Böylelikle kendi kendini referans göstermekten kaynaklanan paradoksu görünüşte çözdüler. Ta ki Gödel Eksiklik Teoremini geliştirene kadar:  

İlgili yazı: Yeşil Sahra 4000 Yıl Önce Neden Çöl Oldu?

 

Hilbert egemenliği şimdilik sürüyor

Hilbert 1930’a dek matematiğe egemen oldu ki ta Eski Yunanlılara uzanan bir geleneği izliyordu. Matematiği sağlam (rigorous) kanıtlarla güçlendirmek istiyordu. Kısacası her doğrunun bir kanıtı olmalıydı. Böylece bütün insanlar hayvandır ama bütün hayvanlar insan değildir gibi önermeleri bile matematikle yazmaya başladı. Siz de resimde hiçbir insan ölümsüz değildir önermesinin yazılışını görebilirsiniz. Formalizm çığırı budur:

Hilbert, Greklerin postulatlarını (belitler), teorem ve aksiyomlarını (koyutlar) kullanıyordu… Bunlar Kant’ın a priori dediği önermelerdir. Örneğin uzaydaki herhangi iki nokta arasında düz çizgi çekebilirsiniz önermesi bir aksiyomdur. Düz geometride geçerli olan iki nokta arasındaki en kısa çizgi doğrudur önermesi de bir aksiyomdur. Bu önermeyi yüklem ve özneye ayırarak analiz edemezsiniz; çünkü düz geometride iki nokta arasındaki en kısalığın tanımı doğrudur (düz çizgi).

Dolayısıyla bu sentetik bir önerme değildir. Tersine, bir aksiyom ve ön kabuldür. Onu kanıtlayamaz ama olduğu gibi kabul edersiniz. Yine de Hilbert aksiyomları kullanarak kümelerin kendine referans vermesini önlemek istemiştir. Oysa biçimcilik açısından bakarsak aksiyomlar matematiksel bir sistemi tanımlayan önermelerdir. Bu önermeler salt simgelerle yazılır. Üstelik bir sistemden nasıl çıkarım yapılacağı ve ne tür çıkarımlar yapılacağını gösteren kuralları da belirler. Peki burada bir çelişki görüyor musunuz? Biçimci Hilbert hâlâ bir sistemi o sistemin kendisiyle kanıtlayabileceğini söylüyor!

Matematiğin İlkeleri

Bu da tüm kümeler koleksiyonunu bir küme olarak kabul etmek demektir. Nitekim Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead (o da hem matematikçi hem filozoftur) Hilbert çığırından etkilenerek 1913’te Matematiğin İlkeleri adlı üç ciltlik bir kitap yayınladılar. Bu kitapta tüm kümeler kümesi gibi en genel kümeler dışındaki kümelerin varlığını kanıtladılar. Aslında daha önce kanıtlanmış olan bazı temel önermeleri Hilbert notasyonuyla formüle ettiler:

İlgili yazı: Zamanda Yolculuk Etmenin 9 Sıra Dışı Yolu

 

Hilbert formalizmi ölü doğuyor

Bu notasyon hatasız ve netti ama aynı sebeple çok detaylı ve uzundu. Yaklaşık 2000 sayfalık yapıtın ilk 762 sayfası sadece 1 + 1 = 2 önermesini kanıtlamaya ayrılmıştı! Sonuçta iki matematikçi bu işten çok yoruldu ve planladıkları dördüncü cildi yayınlamadılar. Buna rağmen Hilbert kitaptan cesaret alarak doğru olan bütün önermelerin doğru olduğu kanıtlanacaktır önermesini savunmayı sürdürdü.

Hilbert matematiğin eksiksiz, tutarlı ve karar verilebilir olduğunu kanıtlamak istiyordu. 1930’daki büyük bir konferansta biçimcilik hayalini şöyle özetledi: Bilmek zorundayız ve bileceğiz (Mezar taşında da böyle yazar). Oysa aynı konferanstaki küçük bir oturumda 24 yaşındaki genç Kurt Gödel tersini söylüyordu. Matematiğin eksik olduğunu kanıtlayabileceğini belirtiyordu. Onu sadece Hilbert’in eski öğrencisi Von Neumann ciddiye aldı ama Hilbert’in hayali daha duyurduğu gün çökmüştü:

Gödel, Hilbert biçimciliğini ona karşı kullandı. Hilbert’in sembollerle yazdığı bütün biçimsel mantık önermelerini aldı ve her birine bir tamsayı atadı. Ondalık sayılar kullanmasına gerek yoktu; çünkü tamsayılar ondalık sayılardan azdı ama bütün ondalık sayılar tam sayıların arasında yer alıyordu. Eksiklik Teorisini tamsayılarla kanıtlarsa tüm diğer sayı kümeleri, yani matematiğin tamamı için de kanıtlamış olacaktı. Böylece ve, veya, değil gibi operatörlerle yazılan tüm önermeleri sayılarla gösterdi. Daha karmaşık önermelere sıra geldiğinde artık 73 trilyon basamaklı sayılar ortaya çıkmaya başlamıştı.

Gödel harflere geri dönüyor

Bu yüzden Gödel önerme grupları, yani çıkarım dizilerini de alfabedeki harflerle yazmaya başladı. Böylece en büyük sayıları bile basit birer harfe indirgeyerek kanıtlama işlemine devam edecekti. Peki ne oldu biliyor musunuz? G harfine geldiği zaman ona karşılık gelen önermenin doğru olup olmadığını kanıtlamanın sonsuz zaman alacağı ortaya çıktı. Evet, Gödel’in yeniden formüle ettiği önermelerin sayısı sonsuzdu. İçinde doğru ve yanlış olanlar vardı ama hepsini göstermek imkansızdı.

Kısacası matematik eksikti

Temel aritmetik işlemlerini yapan matematik sistemlerindeki bütün doğru önermelerin doğru olduğunu kanıtlamak imkansızdı. Peki ya Hilbert’in matematik tutarlıdır önermesi? Gödel bir sistemin tutarlı olduğunu o sistemi kullanarak kanıtlayamayacağımızı gösterdi. Bir sistemin doğruluk ve tutarlılığını ancak o sistemin dışındaki bir sistemle karşılaştırarak kanıtlayabilirdik. A’yı A olmayanı bilmeden bilmemiz imkansızdı. İşte Gödel’in iki Eksiklik Teoremi budur. Böylece geriye kalıyor Hilbert’in matematik karar verilebilir bir sistemdir önermesi… Bu önermenin doğru olup olmadığını da ilk modern bilgisayarı tasarlayan Alan Turing gösterecekti:

İlgili yazı:  Evrenin En Verimli Makineleri Nedir?

 

Karar verilebilirlik nedir?

Karar verilebilirlik bir önermenin aksiyomlara uygun olup olmadığını kontrol eder. Gerçi tutarsızlıkları işaret eden mantık hatalarını göstermez ama işlem hatalarını gösterir. Karar verilebilirlik bir önermenin doğru olduğu anlamına da gelmez fakat en azından soruyu doğru şekilde sorduğunuzu gösterir. Gödel matematiğin karar verilebilir olup olmadığını, yani herhangi bir matematik işleminin kurallı olup olmadığını bulmanın bir yolunu aradı ama bulamadı. Bunu 1936’da Alan Turing başardı. Bu sırada modern bilgisayar ve algoritmaları icat etmiş oldu.

Turing’in zamanında elektronik bilgisayarlar yoktu ve her şey mekanik olup kağıt üstündeydi. Özetle Turing sonsuz uzunlukta bir şerit düşündü. Bu şerit tıpkı film şeridi gibi karelere ayrılmıştı ve üzerinde sadece 1’le 0’lar vardı. İkilik sayı düzenini kullanmayı seçen Turing’in amacı karar verilebilirlik kanıtını ortaya koymaktı. Bunun için sadece temel ilkelerle çalışan en basit sistemi tasarlayacaktı. Böylece bu şeridi okuyan bir makine kafası düşündü.

Nitekim 1970’lere dek bilgisayarlar depolama alanı olarak bu teypleri kullanıyordu. Belki babanızın çocukluğunu gösteren film şeritli ev projektörleri vardır. Onlar gibi düşünün ki Turing makinesi çok basitti. Şeridin üzerindeki 1 ve 0’ları okuyarak en temel işlemleri yapıyordu: Okuduğu değeri değiştirmek (örneğin 1’se 0 yapmak ve tersi), şeridi ileri geri oynatmak ve durmak… Şeridin üzerindeki sayılar da Turing makinesinin program kodları, yani algoritmalardı. Peki bu makine nasıl çalışıyordu?

İlgili yazı: Kuantum Parçacıklar Nedir ve Nasıl Çalışır?

 

Gödel ve Turing makinesi

Öncelikle Turing makinesi bugünkü dizüstü bilgisayarlar ve akıllı telefonlarınızın atasıdır. Prensipte bir Youtube algoritmasını çalıştırmaya varıncaya dek günümüzdeki bilgisayarların yapabileceği her şeyi yapar. Bu yüzden Alan Turing matematiğin karar verilebilir olup olmadığını gösteren bir algoritma bulmak istiyordu. Makinenin durması da programı çalıştırmayı tamamladığını gösteriyordu.

Program derken, makineye şeridi ileri geri kaydır, okuduğun değerleri değiştir veya dur diyen bütün komutlar bu şeride kayıtlıydı. Turing dedi ki bu şeridin bir matematik sistemi olduğunu, şeridin sonsuz uzunlukta olduğu ve okuma kafasının da sonsuza dek çalışacağını varsayarsam ne olur? Makine durursa matematik karar verilebilir sistem demektir. Makine hiç durmazsa veya ne zaman duracağını bilemezsem matematik karar verilebilir sistem değildir. Turing bu süreçte bir şey fark etti:

İlgili yazı: Sanal Parçacıklar Gerçek mi Yoksa Matematiksel mi?

 

Turing makinesi durma problemi

Bir program çökebilirdi; kısacası bilgisayarlar çökebilirdi. Makine kafası şeritteki yan yana iki veriyi ileri geri sonsuza dek okuyabilirdi. Peki bunu öngörmenin bir yolu var mıydı? Sonuçta bilgisayarın ne zaman ve nasıl çökeceğini öngörmek bir algoritmanın hatasız, yani karar verilebilir olup olmadığını görmek demektir. Sonuçta hatalı bir algoritmayla bir önermenin ne doğru olduğunu ne de en azından tutarlı olduğunu gösterebilirsiniz. Peki Alan Turing bunu nasıl test edecekti?

Turing bunun için ilgili algoritmayı test eden Turing makinesinin doğru çalıştığını kontrol eden bir Turing makinesi daha düşüneyim dedi (h makinesi). H makinesinin nasıl çalıştığına şimdilik boş verelim. Sadece özgün Turing makinesini kusursuz bir şekilde test edebildiğini varsayalım. H makinesine iki yeni bileşen de ekleyelim. Turing makinesi çökerse (sonsuz döngüye girerse) h makinesi dursun. Turing makinesi durursa h makinesi sonsuz döngüye girsin.

Şimdi h makinesinin programını alalım ve h+ denilen bir makineye yükleyelim. Bu bilgisayar Turing makinesini test eden h makinesinin simülasyonunu yapsın. Ardından h+ makinesinin çıktısını alıp makineye kendi çıktısını yükleyelim. O zaman ne olur? Yazının başıyla ilişkilendirirsek: 1) h+ makinesi kendi simülasyonunu yapar. 2) Bu yüzden kendini içen tüm kümeler kümesi gibi kendine referans veren bir küme teorisi hatasına yol açar. 3) Kendini tıraş edemeyen berber paradoksuna maruz kalır.

Gödel gibi düşünün

h makinesi durursa h+ sonsuz döngüye girecek ama sonsuz döngüye girerse duracak ve kurallar gereği tekrar sonsuz döngüye girecektir. Öyleyse matematik en genel biçimsel sistem olarak asla kendisinin kurallı olup olmadığını, düzgün çalışıp çalışmayacağını, hatalı olup olmadığını gösteremez. Gödel’in iki Eksiklik Teoremi matematiğin doğru veya tutarlı olduğunu kanıtlamayacağımızı gösterdi. Alan Turing’in makinesi de matematiğin karar verilebilir olup olmadığını bile gösteremeyeceğimizi kanıtladı. Pekala. O zaman matematiği kanıtlamak için fizikten yardım alalım mı?

İlgili yazı: İnsanlar Ateşi Ne Zaman Kullanmaya Başladı?

 

Gödel ve kuantum bilgisayarlar

Fizik bu konuda bize istediğimiz gibi yardım etmiyor. Örneğin kuantum mekaniğindeki belirsizlik ilkesi fiziksel sistemlerle ilgili yüzde 100 kesin ölçümler yapamayacağımızı söylüyor. Beynimiz ve bilgisayarlar fiziksel olduğuna göre kuantum mekaniği bize, “Bir şeyin sonsuz gelecekte düzgün çalışıp çalışmayacağını kusursuz şekilde test eden bir Turing makinesi üretemezsin” diyor.

Buna daha somut bir örnek verelim. Kuantum mekaniğinde tayf aralığı problemi vardır. Bu da iki atom veya üç molekül gibi çoklu kuantum kimya sistemlerinde ortaya çıkar. Örneğin birbiriyle etkileşime giren farklı atomların yörüngesindeki enerji düzeyleri değişir. Tekil atomdaki taban yörüngede olmak ve üst yörüngeye geçmek için gereken minimum enerji düzeyi artar veya azalır. Taban yörünge ile ikinci yörünge arasındaki enerji farkına ise tayf aralığı denir. Öyle ki bazı sistemlerde iki yörünge arasında büyük bir boşluk vardır. Bazı sistemlerde ise yörüngeler birbirine çok yakındır.

Biz de bunlara sırasıyla tayf aralıklı ve tayf aralıksız sistemler deriz. Hangi sistemin ne enerji düzeyinde elektronların yörüngesini değiştireceğini bilmek ise çok önemlidir. Sonuçta aralıksız kuantum sistemleri mutlak sıfıra yaklaşırken süper sıvılarda olduğu gibi faz geçişi yapar (Bkz. Yeni karanlık güç ve öz etkileşimli karanlık madde). Aralıklı sistemler ise elektronlarını üst yörüngeye taşıyamaz; çünkü taban ve ikinci yörünge arasında büyük enerji düzeyi farkı vardır. Kuantum bilgisayar geliştirmek, ona veri girmek ve çıktı almak istiyorsanız bu önemlidir:

İlgili yazı: Uzay Neden Üç Boyutlu Olabilir?

 

Kuantum durma problemi

Kuantum bilgisayarları yerel ağla bağlamak veya kuantum internet kurmak istiyorsanız bu daha da önemlidir. Oysa bir kuantum bilgisayarın networke bağlandığında ne tepki vereceğini önceden bilemezsiniz. İşiniz biraz şansa kalır. Bu da matematiğin karar verilebilir olmamasıyla aynı şeydir! Kuantum fiziği doğanın değil, doğanın verisinin fiziğidir. Dolayısıyla kuantum fiziğiyle çalışan kuantum bilgisayarlar da tam kapsamlı birer Turing makinesidir. Bunlar kendi kendini kusursuz olarak test edemez. Bir yerde mutlaka öngörülemeyen bir hata verecektir. Nitekim buna Turing eksiksizliği deriz:

Bir makineyi test etmek için başka makine ve onu test etmek için başka makine gerekir ve böyle sürer gider. Watson’la birlikte DNA’nın iki iplikli bir sarmal olduğunu keşfeden Francis Crick, 1986 tarihli Şaşırtan Varsayım adlı kitabında bunu çok hoş bir şekilde ifade eder. Beynimizin nasıl çalıştığını anlamak için bize bir beyin daha gerekirdi. Oysa doğa tutumludur ve bize tek bir beyin vermiştir. Bu da bilincimizin bilinçaltından ayrı ve farklı olduğunu gösterir. Belki de kendi varlığını farkında olmamız ve özgür irademizin olmasının sebebi budur! Öyleyse yazımızı hayat oyunuyla toparlayalım:

İlgili yazı: İlk Canlılar Ne Zaman ve Nasıl Ortaya Çıktı?

 

Gödel ve evren simülasyonları

2015’te kuantum fizikçilerinin belirttiği üzere, mikroskobik sistemleri kusursuz olarak tanımlasak bile makroskobik ölçekte nasıl davranacağını bilemeyiz. Öyle ki tayf aralığı problemi kuantum fiziğinin bir durma problemidir ama dikkat: Problem durmakta değil. Problem bir bilgisayarın ne zaman takılacağını öngörememekte… Wang karoları, havayolu biletleri, hava türbülansı ve Magic the Gathering oyun kartları hep aynı problemdir. Peki bu matematik için ne anlama geliyor?

Nasıl ki bir bilgisayarı istediğimiz dilde programlayabiliriz (Bkz. Kodlama için en gerekli 16 programlama dili) doğayı da herhangi bir matematiksel sistemle ifade edebiliriz. Biz insanlar tek bir matematik biliyoruz. Oysa Gödel ve Turin uyarınca matematiğin doğruluğu, tutarlılığı ve karar verilebilirliğinin kanıtlanamaması matematiğin evrensel bir dil değil, Türkçe gibi herhangi bir dil olduğunu gösteriyor. İkinci olarak gelişmiş uygarlıkların neden evren simülasyonu yapacağını gösteriyor. Evren öngörülemez ve evren simülasyonu daha da öngörülemezdir. En gelişmiş uygarlığın bile simülasyonlardan öğreneceği çok şey vardır. Öte yandan yaşadığımız evren bir simülasyon olamaz:

Bunun birbiriyle ilişkili 3 sebebi vardır: 1) Belirsizlik ilkesi ve termodinamik yasaları veri sıkıştırmaya sınır getirir. Dolayısıyla sonsuz küçük bir alana sonsuz veri depolayıp çalıştıramazsınız. Kusursuz simülasyon yoktur (Shannon–Hartley Teoremi ve Landauer İlkesi). 2) Aynı nedenle bir evren içinde çıktısını alacak şekilde okunaklı simülasyon yapmanın bir sınırı vardır (Bkz. Evren simülasyonu yapan kara delikler). 3) Evren simülasyonu argümanı bilimsel mi yazısında belirttiğim gibi bütün simülasyonlar önünde sonunda hata verir.

Gödel, tanrılar ve insanlar

Bunun tanrı kavramı açısından iki önemli sonucu vardır: 1) İnsan zihninin inandığı herhangi bir tanrı kavramının varlığı kanıtlanamaz. 2) Matematikte bile her şeyi bilen ve her şeye gücü yeten bir varlık olamaz. Birincisi fiziksel sistemleri kesin olarak maniple etmek imkansızdır ve ikincisi her şeyi bilen bir varlık gelecekte ne karar alacağını da bilir. Bu yüzden sonsuz döngüye girerek hiç karar alamaz olur. Kısacası ister mantık ister matematik ister fizik isterse kodlama kullanalım mutlak irade imkansızdır (Bkz. Antropik ilke: Kainatta birden fazla evren var mı ve Fizikte tanrı var mı? İnce ayar argümanı). Öyleyse Conway’in Hayat Oyunu programını mevcut bir Hayat Oyunu programına yükleyerek evren içinde evren simülasyonları yapabiliriz. Yapıyoruz zaten ve simülasyonların sınırını görüyoruz:

İlgili yazı: Einstein’ın Tuhaf Uzaktan Etki Kavramı Nedir?

 

Gödel ve Eksiklik Teoremi için sonsöz

David Hilbert ile ona karşı çıkan Kurt Gödel’in asıl mirası modern algoritmalar ve bilgisayar aygıtlarıdır; çünkü Alan Turing’i modern bilgisayarı icat etmeye onların çatışan projesi teşvik etti. Bu arada son ana sakladım ama öz farkındalık yoluyla kendi simülasyonunu yapan insan zekasının öğrenme yeteneğini taklit eden yazılımlara yapay zeka diyoruz. 😉 Buna karşın Gödel yaşlılığında akıl hastalığına yakalandı ve herkesin kendini zehirlemek istediğini sanarak yemek yemekten vazgeçti. Açlıktan hayatını kaybetti.

David Hilbert 43’te vefat ettiğinde ise mezar taşına 1930’daki sloganı yazdılar: Bilmeliyiz ve bileceğiz. Bu imkansız olabilir ama bu insanlığın merak duygusundan ve yeni şeyler öğrenmekten vazgeçeceği anlamına gelmiyor. Alan Turing’e gelince: O ve ekibi Bletchley Park’ta çalışarak II. Dünya Savaşı’nda Alman istihbaratının şifrelerini kırmak için Enigma adlı ilk Turing makinesini yaptılar. Bazılarına göre savaşı iki ila dört yıl kısalttılar. Savaştan sonra Alan Turing ve efsanevi John von Neumann ilk elektronik bilgisayar olan Eniac’ı 1947’de geliştirdiler.

Oysa 1950’lerde İngiliz yargısı ve hükümeti Turing’e ihanet etti. Onu eşcinsellikten suçlu buldular ve hapse girmemek karşılığında kimyasal iğdiş edilmeye maruz bırakarak ev hapsi verdiler. Turing ilaç aldığı için bunalıma girerek 1954’te hayatına son verdi. İngiltere devleti Alan Turing’i ancak 2013’te bağışlayabildi. Bu da yobazlığın en demokratik ve ileri ülkede bile ulusal çıkarlarla etik değerlerin önüne geçebildiğini gösteriyor. Öyleyse Gödel bilim şart dedi:

İlgili yazı: Felsefe Nedir? Nasıl akıl yürütür ve fikir geliştiririz?

 

Bilimin kurtarıcısı Gödel

Bağnazlıkla ancak eğitim yoluyla mücadele edebiliriz. Tabii matematik, felsefe ve mantıktan yola çıkıp bilim ve teknolojiye geldiğimizi de gördünüz. O yüzden kodlama bilmek yetmez. Mutlaka temel bilimler, matematik ve felsefe öğrenin. Yanına sanat, edebiyat, tarih ve hobilerle sporu koyun. Düşüncelerinizi ancak böyle özgürleştirip kalkınabilirsiniz. Düşünceleriniz özgür değilse ifade özgürlüğünü de kullanamazsınız. Gerçek sonrası dönemde sosyal ağları işgal eden yalancı troller bunu bize gösteriyor.

Sözün özü: Matematik doğrulanamaz, tutarlığı gösterilemez ve karar verilebilirliği de yoktur. Bu da her şeyi bilmenin imkansız olduğunu gösterir. Her şeyi bilemeyeceğimiz için seçme özgürlüğümüz ve dolayısıyla öğrenme yetimiz vardır. Üstelik matematiği kendi içinde kanıtlayamayacağımız için önermeleri ancak geçerliliğini göstererek doğrulayabiliriz. Bunun için de bilimsel teorileri doğrulamak yerine test edip yanlışlamaya çalışırız. İşte bu yüzden ampirik (deneysel) ve enstrümantalist (aygıtsal) bilim bağnazlıktan kaçınmak için şarttır. Felsefe öğrenmek şarttır ama yetmez. Eleştirel düşüncenin yanına mutlaka bilimsel düşünceyi koymak gerekir.

Siz de Evren İnsanlar İçin mi Yaratıldı ve İnsan Bilincini Matematikle Kodlamak Mümkün mü diye sorabilir, Antropik İlke Bağlamında Çoklu Evren Teorisini şimdi inceleyebilirsiniz. Bugünkü yazıdan yola çıkıp Riemann Hipotezi ve Asal Sayı Şifrelemesi’nin internetteki şifreleri kırmakta neden önemli olduğuna bakabilirsiniz. Sonsuzluk Gerçek mi, Yoksa Matematik Kurmacası mı sorusuna göz atarak Kara Deliklerin Merkezindeki Tekillikleri sorgulayabilirsiniz. Hızınızı alamayarak Karmaşık Sayılar Kuantum Fiziği İçin Gerekli mi sorusunu da inceleyebilirsiniz. Bilimle ve sağlıcakla kalın. 😊

Gödel teoremini matematikçiler anlatıyor

¹Kurt Gödel: Collected Works: Volume I
²Undecidability of the spectral gap
³Mathematical Games: The fantastic combinations of John Conway’s new solitaire game “life”
⁴On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems. Courier Corporation
⁵A Note on the Origin of the Twin Prime Conjecture. In Notices of the International Congress of Chinese Mathematicians
⁶Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture
⁷Attribution of Poincare’s Quote
⁸Russell’s Paradox