Zeka Küpü Grup Teorisiyle Nasıl Çözülür?

Kozan Demircan | 31/08/2021 | Matematik, Bilim-Teknoloji | 2 yorum

Zeka küpünü grup teorisiyle nasıl çözer ve müzikte ters notaları nasıl çalarız? Nitekim öbek kuramını parçacık fiziğinden ekonomi ve mühendisliğe dek hemen her alanda kullanıyoruz. Grup ve kümeler teorisi arasındaki ilişkiye Newton Pi sayısını nasıl hesapladı yazısında değinmiştik. Şimdi de grupları zeka küpünü çözerek görecek ve hatta zeka küpü çözerken piyano da çalacağız.

Zeka küpü ve matematik

Dünyanın en popüler 3B bulmacası olan zeka küpü veya özgün adıyla Rubik Küpünü 1974’te Macar heykeltıraş ve mimari profesörü Ernő Rubik geliştirdi. Bulmacayı kendi adıyla lisanslayan Rubik, zeka küpünün lisansını 1980’de Toy Corp.’a sattı. Zeka küpü o yıl Almanya’da Yılın Oyunu, En İyi Bulmaca özel ödülünü de aldı ki bugüne dek 400 milyondan fazla Rubik Küpü üretildi.

Dünyanın en çok satan bulmacası olan Zeka küpünün altı yüzünde dokuzar kare yer alıyor. Her yüze beyaz, kırmızı, mavi, turuncu, yeşil ve sarı olmak üzere birer renk karşılık geliyor. 1988’den beri uygulanan standartlar uyarınca beyaz yüzün karşısında sarı, mavinin karşısında yeşil, turuncunun karşısında ise kırmızı bulunuyor. Ayrıca kırmızı, beyaz ve mavi renkler saat yönünde diziliyor. Oyunun amacı her yüzün tek renkten oluşmasını sağlamaktır. Kare yüzlerde bulunan 3 x 3 düzenindeki dokuz küçük küp altı renkten biriyle kaplı oluyor. Küpler dikey ve yatay olarak dönebiliyor.

Böylece küpü elinize aldığınızda yüzeyinin resimdeki gibi karmakarışık renklerle kaplı olduğunu görüyorsunuz. Bir yüzeyi tek renge çevirmek çoğu zaman diğer yüzlerdeki tek renk düzenini de bozuyor. Bu yüzden zeka küpüne üç boyutlu renk bulmacası diyoruz. Yüzleri aynı renge getirmenin farklı yöntemleri var ve bunun için de parçaları belirli bir sırayla çevirmek gerekiyor. Hatta bulmaca severler, zeka küpünü en hızlı kim çözecek hedefli küresel yarışmalar düzenliyor. Şimdi grup teorisine geçelim:

İlgili yazı: Kodlama İçin En Gerekli 16 Programlama Dili

Zeka-küpü-grup-teorisiyle-nasıl-çözülür — Büyütmek için tıklayın.

Zeka küpü ve öbek kuramı

Öncelikle tüm gruplar kümedir ama tüm kümeler grup değildir. Bunun Russell Paradoksuyla da ilişkisi vardır… Kendini içermeyen tüm kümeler kümesi kendini içeremez; çünkü kendini içermesi için kendini içermeyen bir küme olması gerekir.

Öte yandan matematikte grup, iki öğeyi (eleman) birleştirerek üçüncü bir öğe oluşturan özel bir kümedir. Bu ilişkisel kümenin hem etkisiz öğesi hem de ters öğesi vardır. Bu üç koşula matematikte aksiyomlar, yani ön kabuller deriz. Sayılar sistemi ve diğer matematik yapılarında bu tür ilişkisel kümelerden türeyen grupları (öbekleri) kullanırız. Oysa merak etmeyin!

Kuru tanımları hemen geçip size öbek kuramını zeka küpü çözmekte nasıl kullanacağımızı anlatacağım. İlk olarak öbek kuramı simetrileri inceleyen bir matematik dalıdır ve zeka küpünü de renk simetrilerini kullanarak çözeriz. Nitekim her nesnesinin en az bir simetrisi vardır. Buna bir nesneyi, örneğin elinizdeki kulplu kahve kupasını hiçbir şey yapmadan olduğu gibi bırakma dönüşümü deriz. Ayrıca ters dönüşümler vardır ve bunu da müzikteki ters notalar için akılda tutun.

Buna ek olarak zeka küpünü çözmek için parçalarını düz ve ters olarak belirli bir sırayla, dolayısıyla bir birleşim dizisiyle çevirmemiz gerektiğine de dikkat edin. Biz de böylece zeka küpü çözmek için gereken 4 kuralın üçünü (yani oyunun kurallarını) hem öbek kuramı hem de simetri teorisiyle ortaya koyduk. Şimdi zeka küpünü çözmeyi resimler eşliğinde çözelim:

İlgili yazı: Kuantum Gerçekliği Bilinçli Gözlemci mi Oluşturuyor?

Zeka küpü ve çözüm simetrileri

Rubik küpünün her yüzü (içerdiği dokuz küçük küp dahil) birer küme öğesidir ama bu öğeler 4 özel kurala uyar… 1) Kapama aksiyomu: Tüm grup işlemlerini yalnızca grup öğeleriyle yapabilirsiniz. Bunu anlamak kolay: Bir zeka küpünü başka bir zeka küpünü çevirerek çözemezsiniz. Teknik ifadesiyle zeka küpü kare şekilli 6 yüzeyden oluşur. Bunları da yatay ve dikey olarak üçer satır halinde çevirebilirsiniz. Oysa satırları hangi yönde çevirirseniz çevirin ve böylece hangi renk birleşimlerini bulursanız bulun, tüm renk dizileri aynı grubun öğesi olacaktır. Kısacası zeka küpünün renkleri zeka küpünün parçasıdır.

2) İlişkisel aksiyom: Bir öbek işlemi yaparken parantezi nereye koyarsak koyalım aynı sonucu alırız. Örneğin (1 + 1) + 1 = 3 işlemi ile 1 + (1 + 1) = 3 işlemi aynı sonucu verir. Zeka küpüyle gösterirsek… Küpün bir yüzünü sağa iki kez ve sonra bir kez çevirirseniz elde edeceğiniz sonuç, sağa bir kez ve sonra iki kez çevirerek elde edeceğiniz sonuçla aynı olur. Bu da küpü çevirme sıranızın zamanda simetrik olması, yani belirli bir sırayla yapılması anlamına gelir (Bkz. Zaman Kristalleri). Zeka küpünün simetri teorisiyle ilgisi de buradan ileri gelir.

3) Etkisiz öğe aksiyomu:

Şimdi de şakalarımızın vazgeçilmez öğesi etkisiz elemana geldik. 😊 Etkisiz öğe, bir öğeye eklediğiniz zaman sonucu değiştirmeyen öğedir. 1 + 0 = 1 eder. Buna zeka küpünde referans noktası da diyebilirsiniz. Küpü çevirirken her seferinde bir rengi baz alırsınız. Bir sonraki renk dizilişini o renge göre yaparsınız. Elbette ki zeka küpünü sadece bir yüzünü aynı renge getirmeye çalışarak çözemezsiniz. Oysa her çevirme işleminde belirli renkleri baz almazsanız çözümü de bulamazsınız. Bu bağlamda baz aldığınız renkler etkisiz öğe olur. Öyle ki bulmacayı çözdükten sonra elde ettiğiniz tek renkli yüzeylerin renkleri de artık birer etkisiz öğedir. Ta ki onları tekrar karıştırana dek…

4) Ters öğe aksiyomu: Bir öbekteki her öğenin bir de ters öğesi vardır ki ikisinin toplamı 0 ederek size etkisiz öğeyi veri. Örneğin zeka küpünde iki farklı yüzde birer satır tek renk elde ettiniz diyelim. Şimdi de bir yüzde ikinci satırı tek renk yapmak istiyorsunuz. Oysa aklınıza gelen ilk çevirme işlemi öbür yüzdeki tek renkli satırı bozuyor. Bunu da öyle düşünün: 1 + (-1) = 0. İşte bu dört temel kuralı yazdığımız zaman çok ilginç özellikler ortaya çıkıyor. Zeka küpünün bütün esprisi bu kurallarda yatıyor:

İlgili yazı: Okyanuslar Hakkında Yanıtını Bilmediğimiz 7 Soru

Zeka küpü kaç adımda çözülür?

Artık elimizde tam kapsamlı bir zeka küpü var. Bunun kare yüzeylerini oluşturan her satırını yatay ve dikey olarak istediğimiz birleşimde (kombinezonda) çevirebiliriz. Nitekim bir zeka küpünde 43 x 10¹⁸, yani milyar kere milyar kombinezon vardır (43 kentilyon). Buna karşın Google’in süper bilgisayarları bu üç boyutlu bulmacayı en çok 20 adımda çözebileceğimizi gösterdi. Bu ne demek derseniz Riemann hipotezinde anlattım fakat özetle Google’ın yaptığı nedir? Çözümünü bilmediğimiz çözülebilir bir problemi kaç adımda çözeceğimizi göstermektir. Bu tüm problemler için geçerli olsa N=NP olurdu.

Bu da internetteki tüm şifrelemeleri teorik olarak kırabileceğimiz anlamına gelirdi! 😮 Matematikçiler bunu kanıtlayabileceğimizi sanmıyor; çünkü bunu yapmak için evrende her şeye gücü yeten bir bilgisayar gerekir. Bu da bizi termodinamik yasalarına aykırı olan Maxwell şeytanına götürür. Her neyse… Zeka küpündeki her renk sırasına bir dizilim deriz. Bir öbekte ne kadar öğe varsa dizilim ve birleşim sayısı da o kadar artar.

Dediğim gibi zeka küpünde 43 kentilyon dizilim kombinezonu var. Bu yüzden küpü rastgele değil, ancak mantık yürüterek çözebiliriz. Bunun için de öbek kuramını uygulayarak küpü çözmemizi sağlayacak doğru çevirme sırasını buluruz. Küpü çözen herkes aslında bunu yapar. O yüzden matematikten anlamam deseniz de bir kez olsun zeka küpünü çözdüyseniz matematikten anlıyorsunuz demektir. Derhal gidip iyi bir matematik eğitimi alın da zihniniz açılsın. 😊 Gelelim müziğe:

İlgili yazı: Dünyadaki En Ölümcül 5 Toksin Nedir?

Zeka küpü ve ters notalar

Matematikle müzik arasında derinden bir ilişki vardır. Aslında notalarla geometri arasında ta Pisagor zamanından bildiğimiz bir ilişki bulunur. Öbek kuramının da müzikte, özellikle de piyanoda önemli bir yeri var. Örneğin piyanodaki 12 akoru alalım ve bunları onikigen oluşturacak şekilde çizgilerle birleştirelim. Öyle ki her akort merkezden eş uzaklıktaki bir noktaya karşılık gelsin. Hatta resimdeki gibi en başta olduğu için C ile başlayalım. Sonra C’nin tam karşısındaki akordu ve onikigeni yatay olarak tam ortadan kesen iki akordu çizgiyle birleştirelim. Böylece 7. azalan akordu üretiriz.

O zaman da C, A, F^# ve D^# notalarından oluşan bir öbek üretmiş oluruz. Bu grupta nota satırında yer alan en alttaki notayı en üste çıkarmak gibi bir işlem yapabiliriz. Müzikte buna tersine çevirme ve ters nota deriz ki öbek kuramında ters öğe aksiyomuna karşılık gelir. Her tersine çevirme işlemi akordun sesini değiştirir ama akordumuz 7. azalan akort olarak kalır. Böylece kapama aksiyomuna uyar. Nitekim besteciler ters notaları kullanarak akort dizisini değiştirerek kulağı tırmalayan uyumsuz sesleri önler. Özetle öbek kuramı, simetri teorisi ve ters notalar birbiriyle ilişkilidir.

Zeka küpünün müziği

Ben de müziğe meraklı arkadaşlara resimdeki akortlu zeka küplerini öneriyorum. Bu küplerde her küçük kareye bir armonik akort karşılık gelir. Öyleyse zeka küpünü çevirirken akortları ve notaları da çevirmiş olursunuz. Çözüme doğru ilerledikçe ahenksiz seslerden ahenkli seslere ilerleyerek zeka küpünün bestesini yaparsınız. Ne duruyorsunuz? Zeka küpü çözmenin müziğini hemen besteleyebilirsiniz. 😉

Peki elektron yakalama süpernovası nasıl patlar ve oksijen dünya atmosferinde nasıl birikt? Onu da şimdi okuyarak karanlık madde yıldızları ve yer fıstığı yıldızlara bakabilirsiniz. Delta varyantı neden daha riskli ve bulaşıcı diye sorup evreni genişleten vakum enerjisine göz atabilirsiniz. Hızınızı alamayarak matematik nesnelerinin gerçek ve fiziksel olup olmadığını merak edebilirsiniz. Ardından entropi ve dolanıklık arasındaki ilişkiyi de inceleyebilirsiniz. Bilimle ve sağlıcakla kalın.