Sonsuzluk Gerçek mi, Yoksa Matematik Uydurması mı?

Matematik denklemlerindeki sonsuzluk gerçek mi, yoksa biri 0’a bölmeye çalıştığınızda karşınıza çıkan ve yalnızca matematikte geçerli olan tanımsız bir ifade mi? Matematikte sonsuzluklar var, örneğin teorik olarak sonsuza dek sayabiliriz. Peki fizikte sonsuzluk var mı? Fizik denklemlerini çözmek için bütün sonsuzlukları sadeleştirip silmek zorunda mıyız? Sonsuzluğun gerçek olup olmadığı sorusu asıl fizik açısından önemli; çünkü kozmik enflasyon teorisine kainatta sonsuz sayıda evren olabilir.

Bilimde sonsuzluk kavramı

Oysa nasıl ki mantıkta en genel kavramlar aslında pek az şey anlatır (örneğin insan derken yaşayan 7,8 milyar insandan hiçbirini kast etmiyoruz ve hatta insan teriminin anlamı pek belirsiz) fizikte de sonsuz sayıda evrenin oluşumunu açıklayan teoriler aslında yaşadığımız evrene dair bir şey anlatmaz. Örneğin sonsuz sayıda evren varsa bu teoriler yaşadığımız gözlemlenebilir evrenin nasıl oluştuğunu açıklamaz.

Elbette sayılabilen ve dolayısıyla sadeleştirip hesaplanabilen sonsuzluklar vardır ki en basitinden matematikteki integral, türev, limit ve matrisler buna dayanır ama bu durumda sonsuzluğu birebir saymıyoruz. Bunun yerine sonsuzluğu matematik işlemleriyle sadeleştiriyoruz. Yoksa pratikte sonsuza dek sayamayız ve işte bu yüzden fizikte sonsuzluklar en büyük problemlere yol açıyor.

Kuantum kütleçekim kuramı yazısında anlattığım gibi Einstein’ın genel görelilik teorisi merkezindeki tekillikte yerçekiminin sonsuza ulaştığı kara delikler öngörüyor. Kara delikler gerçek ama merkezinde sonsuz yerçekimine sahip tekillik olduğu şüphelidir. Tersine kara delik ve evreni oluşturan büyük patlama tekilliği fizikte çözülemeyen en büyük sorunlardan biridir.

Fizikte sonsuzluk varsa neden var?

Bunlar teorilerimizin işlemediği sınırları mı gösteriyor, yoksa mantığa aykırı olarak sonsuzlukları bile hesaplayan yepyeni bir fizik mi geliştirmemiz gerekiyor? Matematik ve fizikte sonsuzluk kavramının ne anlama geldiğini görerek evrenin nasıl oluştuğunu açıklamaya çalışalım. Bizi sonsuzluğunun sonunu keşfetmeye teşvik eden heyecanlı bir konu geliyor:

İlgili yazı: Gerçek Adem: ilk insan ne zaman yaşadı?

 

Sonsuzluk yalan demek zordur

Bunu derken tümüyle matematik ve fizik açısından yaklaşıyorum. Örneğin sonsuzluk yoksa 0 da yok mu diyeceğiz? Avrupalıların uzun süre haberi olmadı ama 2300 yıl önce 0’ı Mayalar icat etti ve bağımsız olarak Hintliler 1600 yıl önce buldu. Oysa 0 özünde sonsuz küçüklükte olan, yani sıfıra yakınsayan bir sayı demektir. Sonsuzluğu ise ∞ simgesiyle gösteririz. Kolaylık olsun diye bundan böyle ∞ yazacağız.

Günlük hayatta sonsuzluğu kavramak kolaydır. İster birer birer olsun ister üçer üçer, hiç durmadan sonsuza dek sayabileceğimizi hayal ederiz. Hatta üçer üçer sayan sonsuzluğun birer birer sayan sonsuzluktan daha büyük olduğunu biraz düşünürsek fark ederiz. İnsan zihninin sonsuzluğu kavrayabilmesi harika bir şeydir. Bu doğanın bir parçası olarak doğayı anlama yetimizin olması anlamına da gelebilir ama bunu matematik evrensel dil mi, yoksa insan icadı mı yazısında ele aldım.

En iyisi sonsuzluk üzerine biraz daha düşünelim. Aklınıza gelebilecek en büyük sayı nedir? 1 milyon mu? Buna bir ekleyerek daha büyük bir sayı üretebilirsiniz. Bunu her zaman yapabilirsiniz ki 1 milyona dek saymanıza da gerek yoktur. Sonsuzluklar matematikteki N=NP? ve fizikteki tekillikler açısından başımızın belasıdır ama sağduyumuzdan işte böyle basitçe türer.

Buna doğal sayılara bakalım

Farklı sonsuzluk türleri olabileceğinden de söz ettik. Üçer üçer ve birer birer saymak buna örnektir ama dahası var: Mesela doğal sayılarla 1, 2, 3 diye sayarak ulaşabileceğimiz sonsuzluklar en basit tür olup bunlara sayılabilen sonsuzluklar deriz ancak doğal sayılar kümesi (N) matematikte sonsuzluklar açısından çok özel bir kümedir. Doğal sayıları ekleyerek diğer sayı kümelerinde de sonsuzluklar üretebilirsiniz. En basitinden sayıların başına sıfır getirin:

İlgili yazı: Kodlama İçin En Gerekli 16 Programlama Dili

 

Doğal sayılar ve sonsuzluk

Böyle bir kümedeki sonsuzluğu doğal sayılara eşlemek için doğal sayı kümenizdeki her sayıdan 1 çıkarmanız yeterlidir (-1). Dahası her sayıyı kendisinden çıkararak bu kümeyi 0’lı sonsuzluklar kümesine de dönüştürebilirsiniz (1 – 1 = 0, 2 – 2 = 0…). Bunun için tek yapmanız gereken 0 eklediğiniz doğal sayılar kümesiyle 0’lı ∞ kümesini bire bir eşlemektir; yani yeni kümedeki sayıları tek tek kendisinden çıkarmanız gerekir ki bu işlem de sonsuza dek sürer! Üstelik bazı sonsuzluklar birbirine benzer:

Sıfır içermeyen doğal sayılar kümesiyle 0 içeren doğal sayılar kümesi aslında aynı sonsuzluk türüdür. Aynısı tam sayılar kümesi (Z) için de geçerli. Bunu da 0, -1, -2… olarak sonsuza dek sayabilirsiniz. Tam sayıların bütün kesirleri olan rasyonel sayılar kümesi de (Q) sayılabilir olduğu için aynı sonsuzluk türüdür; çünkü buraya dek saydığımız bütün kümeleri doğal sayılardan türetiriz.  Öte yandan dikkat!

Reel sayılar kümesi (R) sayılabilir sonsuzluk değildir. Reel sayılara dahil ondalık sayılar ise virgülden sonra sonsuz sayı içerebilir ve bu durumda bunları sayamayız (Örneğin Pi sayısı basit bir kesirle ifade edilemeyen bir reel sayı, yani irrasyonel sayıdır). İşte bu tür R sonsuzlukları farklı bir tür sonsuzluk türüdür. Aslında çok sayıda, belki sonsuz sayıda sonsuzluk türü var ama matematikte en sık karşılaşılan iki sonsuzluk doğal sayılar (N) ve reel sayılar (R) sonsuzluğudur. Peki farklı sonsuzluklar ile nasıl işlem yaparız?

İlgili yazı: Beşinci Kuvvet: Karanlık Enerji Evreni Yok Edecek mi?

 

Temel sonsuzluk işlemleri

Matematik ve fizikte sonsuzlukları kullanabilmemizin asıl sebebi bunların genellikle aynı tür sonsuzluklar olmasıdır. ∞ + 1 yine sonsuzdur. ∞ – 1, ve ∞ x 2 de sonsuzdur. Öte yandan 1 / ∞ sıfır eder; çünkü bunun sonucu sonsuz küçüklükte bir sayıya karşılık gelir. Aslında bu ifade 1’i sonsuza dek gittikçe daha büyük sayılara bölmek anlamına gelir.

Sonuçta 0 teknik olarak tam sayı, hatta ikiye bölünebildiği için çift sayıdır ama bildiğimiz anlamda sayı değildir. Umarım matematik hocalarımız bu işlemleri yalnızca konuyu anlatmak için yaptığımı biliyordur. 😊 Yoksa matematikte sonsuzluğu böyle yazmayız; çünkü bu ilişkileri denklemlerle yazmak teknik olarak yanlıştır. Örneğin ∞ + 1 = ∞ demek sonsuzluğu 1 ekleyerek bir büyük kıldınız, yani aynı tür sonsuzluk ürettiniz demektir o kadar. Neden mi?

∞ terimi bir sayı değildir de ondan! ∞ – ∞ = 0 da diyemezsiniz; çünkü soldaki ∞ teriminin kaç olduğunu bilmiyoruz. Sağdakinin kaç olduğunu da bilmiyoruz. Bu yüzden 2 – 2 = 0 gibi yazamayız. Dahası ∞ – ∞ = 0 işlemi teorik olarak bile yalnızca aynı tür sonsuzluklar için geçerlidir. Sonsuz doğal sayı (N) – sonsuz rasyonel sayı (R) işlemi 0’a eşit olmayacaktır ama beteri var:

Rasyonel sayılara bakalım

∞ x 0 ve ∞ / ∞ işlemlerinin sonucu herhangi bir sayı olabilir! Dahası aynı ∞ türüyle işlem yapsanız bile bunlar N yerine R sonsuzluğu bulmak gibi farklı sonsuzluklar verir. Yine de rahat olun. 😀 Sonsuzluklar ilk başta kafa karıştırabilir ama matematikçiler ne yaptığını biliyor. Bunun için yalnızca işlem yaparken ellerindeki ∞ terimlerinin nereden geldiğine dikkat ediyorlar o kadar. Örneğin:

İlgili yazı: İnternetinizi Uçuracak En İyi 10 Modem

 

Sonsuzluk ve sadeleştirme

Diyelim ki x² gibi bir fonksiyonunuz var ve x sonsuza giderken bu fonksiyon da sonsuza gidiyor. Bunu yine x’le birlikte sonsuza giden üslü bir fonksiyona bölerseniz ∞ / ∞ işlemi yapıyorsunuz demektir. Oysa bu kez sorun olmaz; çünkü bu işlemle elde ettiğiniz sonsuzluğa ne tür sonsuzluklarla işlem yaparak ulaştığınızı biliyorsunuz. Resimde görüldüğü gibi bu örnekte sonuç 0’dır.

Bunun için grafikte görüldüğü üzere alttaki üslü kesri alır [exp (x)] ve x’in fonksiyonu olarak hesaplarız. Sonsuzlukların nereden geldiğini bildiğiniz sürece bunlarla ∞ – ∞ gibi istediğiniz işlemi yapabilirsiniz. Nitekim fizikçiler kuantum alan teorisinde sık sık bunu yapar. Szi de 1/epsilon, 1/epsilon² ve epsilonun logaritması gibi işlemleri resimde görebilirsiniz. Epsilon sonsuza gittikçe bu işlemler hep 0 verecektir.

Sonuçta tüm ∞ terimlerinin aynı tür sonsuzluk olduğunu bilirseniz bunlarla gerçek sayılar gibi toplama, çıkarma, çarpma, bölme vb. işlemleri yapabilirsiniz. Böylece fizik denklemlerindeki ∞ terimlerinin birbirini silmesini sağlayarak işlemleri sadeleştirebilir ve fizik problemlerini çözebilirsiniz. Pekala, sonsuzlukların sanıldığı kadar sorun olmadığını açıkladık. Peki sonsuzluk gerçek mi?

İlgili yazı: Zamanda Yolculuk Etmenin 9 Sıra Dışı Yolu

 

Gerçek sonsuzluklar

Sonsuzluk yoksa neden 0’ın da olamayacağını artık biliyoruz. Bu yüzden matematikte sonsuzlukların var olduğunu söyleyebiliriz ama fizikte sonsuzluk yoktur ve bunu düz mantıkla gösterebiliriz. Sonsuz kesinlikte ve sonsuz değişken içeren bir doğa teorisi yok; çünkü bütün bunları insanlar geliştiriyor. Biz de sonsuza dek sayamayız, dahası kuantum fiziğindeki belirsizlik ilkesi yüzünden sonsuz kesinlikte ölçüm de yapamayız (Bkz. Kuantum ölçüm problemi. Neyi ölçüyoruz?).

Bu yüzden fizikteki sonsuzlukları çok büyük sayılarla değiştirebiliriz. Bu da gözlemlerin kesinliği ölçüsünde fizik denklemlerini çözmeye izin verir. Örneğin yerçekimini 10 mm mesafede milyonda bir hassasiyetle ölçebiliyorsak bu işlemlerde sonsuzluk yerine milyonlu terimler kullanmamız yeterlidir. Pratikte ise büyük sayılar fizik problemlerini süper bilgisayarda çözmeyi bile zorlaştırır. Bu yüzden büyük sayılarla uğraşmak yerine denklemleri sadeleştirmeyi tercih ederiz.

Yine de size fizik ve matematik arasındaki sonsuzluk ilişkisini gösterebilirim. Bir duvara lazer belirticiyle (hani şu sunumlarda kullandığınızdan) lazer ışını yansıttığınızı düşünün. Kırmızı noktanın duvarda yer değiştirme hızı elinizi sağa sola ne hızla hareket ettirdiğinize bağlıdır. Hatta duvarı 10 ışık yılı uzağa taşır ve Dünya’dan duvara lazer noktası yansıtırsanız bu nokta gökyüzündeki uzak perde üzerinde ışıktan hızlı sağa sola hareket edecektir! :0

Yok, o kadar şaşırmayın. Lazer noktası aslında resimdeki gibi bir projeksiyondur. Siz elinizi ışıktan hızlı sallamasanız da sırf perde çok uzak olduğu için ışıktan hızlı hareket ediyor gibi görünür. Öte yandan kırmızı noktanın sonsuz hızda hareket etmesinin tek yolu perdeyi sonsuz uzaklığa yerleştirmektir. Acaba öyle mi? Hayır. Bunun yerine perdeyi yan çevirebilirsiniz. Perdeyi ne kadar yan çevirirseniz üzerine yansıyan nokta da o kadar hızlı hareket eder.

Sonsuzluk perdesi

Hatta perdeyi tümüyle yan çevirip yalnızca kenarının size bakmasını sağlar ve aynı zamanda 100 ışık yılı uzağa götürürseniz lazer ışınını perdede neredeyse sonsuz hızda hareket ettirebilirsiniz. Yaklaşık sonsuz hızda; çünkü gerçek sonsuzluğun tek yolu perdeyi yine sonsuz uzaklığa taşımaktır ve bu imkansızdır. Bu da bize fizikle matematik arasında sonsuzluk açısından bir ilişki olduğu ama pratikte sonsuzluğa erişemeyeceğimizi, yani sonsuzluğun gerçek olmadığını gösteriyor. Bunu genel görelilikteki kara delik tekilliklerinin gerçek hayatta olamayacağı açısından kuantum fiziğinde de gösterebiliriz:

İlgili yazı: Virüsler Canlı mı ve RNA Yaşamın kökeni mi?

 

Sonsuzluk ve kuantum fiziği

Heisenberg’in belirsizlik ilkesi gereği bir parçacığın nasıl davranacağını önceden bilemeyiz. Yalnızca buna ilişkin olasılıkları hesaplayabiliriz. Antimadde yok oluşu gibi belirli bir parçacık etkileşiminin gerçekleşmesinin sonsuz yolu vardır ama her etkileşim Feyman Diyagramlarında tek bir şekilde gösterilir.

Bunun nedeni her etkileşimin pratikte tek şekilde gerçekleşiyor olmasıdır. Evet, bir elektronun konumu, momentumu, hızı, vektörü ve benzeriyle ilgili sonsuz olasılık olabilir ama kuantum fiziğinde bütün olasılıkların toplamı 1’e eşittir. Bu da fizikte yalnızca sayılabilir sonsuzluklarla uğraştığımızı ve dahası fizikte sonsuzluk olmadığını gösterir. Kuantum alan kuramındaki “yeniden normalleştirme” işlemleri matematikteki sonsuzlukları sadeleştirip fiziğin sonlu doğasına uydurmaktan ibarettir.

Bu yüzden Nicolas Gisin, Tim Palmer ile George Ellis gibi fizikçiler evrende sonsuzluk ve fizikte sonsuz kesinlikte ölçümler olamayacağını söylemiştir. Peki ya fizikte evreni doğaüstü varlıklarla açıklayabilir miyiz? Bir anlamda evet! Yaşadığımız gözlemlenebilir evreni oluşturan fizik yasaları yalnızca bu evrene özgüdür ama bu evrende olan, olmayan bütün fizik yasalarına izin veren kuantum alanları evreni oluşturan büyük patlamadan önce gelir. Kuantum alan kuramları haliyle doğaüstüdür.

Öte yandan evrenin oluşumunu sınırsız güce sahip ve istediği her şeyi yapabilen varlıklarla açıklamak bizi fizikte sonsuzluk olamayacağı gerçeğine geri getirecektir; çünkü böyle bir varlık sonsuz karmaşıklıkta olacaktır. Evrenin sonsuz karmaşıklıkta olmadığını biliyoruz. Ne de olsa evrenin işleyişini sonsuzluklar olmadan açıklayabiliyoruz. Sonlu bir şeyi sonsuz bir şeyle açıklamak ise felsefedeki Occam’ın usturası mantığına aykırıdır. Bir şeyi mümkün olan en basit şekilde açıklamak gerekir.

Aksi takdirde

Hayalleri ve boş inançları gerçeklerden ayıramayız. İşte bu yüzden fizik teorilerini doğrulanabilir olduğunda değil, yanlışlanabilir olduğunda ciddiye alırız; çünkü bir şeyin doğru olduğunu göstermenin sonsuz yolu vardır ama yanlış olduğunu bir kez göstermek yeterlidir. Böylece matematikle fizikte sonsuzluğu gördük ve fizikte sonsuz karmaşıklıktaki açıklamaları neden dikkate alamayacağımızı anladık. Peki fizikte tanrı var mı? Onu da şimdi okuyabilir, evren bir simülasyon mu diye sorabilir ve evrenin bilgi işlem kapasitesini hemen hesaplayabilirsiniz. Keyifli okumalar. 😊

Evren sonsuz olsa ne olur?

¹Infinities within Finitely Supported Structures
²Infinities in Physics and Transfinite numbers in Mathematics
³Infinitesimal and Infinite Numbers as an Approach to Quantum Mechanics