Sihirli Kareler: Matematikte Çözüm Bekleyen 4 Problem

Matematikte çözüm bekleyen ve günlük hayattan türeyen en ilginç dört problem nedir? Kanepe taşıma problemi, yavru solucan kundaklama problemi, ormanda yolunu bulma problemi ve antik dünyadan kalma “sihirli karelerin karesi” problemini birlikte çözelim. Ne de olsa bu tür ilginç problemler hem matematik sevgisi aşılıyor hem de mühendislikle bilimde önemli sorunları çözmeyi sağlıyor. Nasıl mı?

1. Kanepe taşıma problemi

Gödel eksiklik teoreminde modern matematiğin doğuşunu gördük ama bütün matematik problemleri teorik sorunlar değildir. Bazen de günlük hayattan çıkan pratik problemler teorik sorunları aydınlatır. En basitinden, yeni bir eve taşınırken kanepeleri koridordan geçirmeye çalıştığınızı varsayalım. Bir kanepeyi 90 derece dirsek yapan kıvrımlı bir koridordan geçirmek kadar zor bir şey yoktur. Elinizi yoran ağır kanepe köşeye takılınca size çok daha zor olan diğer hayat problemlerini unutturur.

Tabii matematikçiler de ev taşıyor. Bu yüzden kanepeyi yerleştirdikten sonra oturup bir yorgunluk kahvesi içerken, 90 derece açı yapan dar bir koridordan yana çevirmeden geçebilecek en büyük kanepenin yüzey alanını hesaplamaya da çalışıyor. Kanepe taşıma problemi budur.  Peki nasıl çözülür? Bu problemi Leo Moser 1966’da ortaya attı. Basit gibi görünebilir ama bugüne dek kesin çözen de olmadı. Yine de kesin çözüme oldukça yaklaştık am önce sorunu formüle edelim.

Matematikte bu problemi “kenarları 1 birim uzunlukta olan L şekilli bir bölgeden geçebilecek maksimum A alanına sahip iki boyutlu sert şekil nedir” olarak sorarız. Sert derken kanepenin kumaş gibi bükülüp katlanmayacağını kastediyoruz.

A alanı ise metrekare cinsinden en büyük kuşbakışı kanepe yüzeyine eşittir ve buna “kanepe sabiti” denir. Sorun bu sabiti bulmaktır. Çözüme yaklaştık demiştim ya; marifet L şekilli koridora sığacak bir kanepe bulmak değil. Marifet koridora sığacak en büyük kanepeyi bulmak.  Nitekim ilk olarak kanepe sabitinin (alanının) A ≥ πr² ≈ 1,57 birimkareden küçük olamayacağını hesapladık.

Problem çözmek ekip işidir

Alt sınıra ek olarak ilk etapta 2 x (2’nin karekökü) ≈ 2,8284 birimkareden büyük olamayacağını da belirledik. 2017 yılında ise Yoav Kallus ve Dan Romik bu sabitin 2,37 birimkareden büyük olamayacağını gösterdi. İşte bu alt–üst sınırlar arasında, matematikçi Hammersay telefon ahizesine benzeyen bir kanepe tasarladı. Bu mobilya iki yanda 1 birim yarıçaplı iki çeyrek daire ve 1’e 4/π birimkare alana sahip bir dikdörtgenin birleşmesinden oluşuyordu.

Tabii dikdörtgenin ortasından 2π yarıçaplı bir yarım daire çıkarılmıştı. Her durumda ahize şekilli kanepemiz, ortasındaki çukur sayesinde çok büyük olmasına rağmen dirsekli koridorun köşesinden kolayca geçiyordu. Hammersay bunun alanını A ≥ π/2+2/ π ≈ 2,2074 birimkare olarak hesapladı. Gerisi çorap söküğü gibi geldi:

İlgili yazı: Kodlama İçin En Gerekli 16 Programlama Dili

 

En problemli kanepe

1992 yılında Joseph Gerver bu şekli 18 kıvrımlı bir ahize olarak daha da iyileştirdi. Böylece kanepe sabitinin 2,2195 birimkareden büyük olması gerektiğini gösterdi (resimlere bakınız). Hatta Philip Gibbs özel bir bilgisayar simülasyonu ile Gerver sabitini 8 ondalık basamağa dek hesapladı. 😮

Son olarak matematikçi Romik 18 kıvrımlı bu ahizeyi aldı ve kenarlarını sağda–solda resimdeki gibi iyice yuvarlayarak kanepe sabitinin alt sınırını 1,64495521 birimkare olarak belirledi. Sonunda matematikçiler bu hesaplamayı yapmak için özel bir bilgisayar programı yazdılar. Böylece Gerver’in çözümünün olası en büyük kanepeden sadece yüzde 2-3 kadar küçük olabileceği sonucuna vardılar. Matematikçiler ev taşırken işe yarayacak formülü hesaplayadursun biz ikinci ilginç probleme geçelim:

İlgili yazı: Gerçek Adem: ilk insan ne zaman yaşadı?

 

2. Problem çıkaran Moser solucanı

Anne solucanın örtü problemi ve yavru solucan kundaklama problemi olarak da adlandırdığımız bu problemi, Avusturya asıllı Kanadalı matematikçi Leo Moser 1966’da tasarladı. Diyelim ki anne toprak solucanının çok tatlı bir yavrusu var ve üşümesin diye battaniyeye sarmak istiyor. Kısacası yavrusunu sigara böreği gibi sarıp sarmalayacak. Peki solucanı iki ucu dışarı taşmadan saracak en küçük örtünün alanı nedir? Sıkıntı yok. Bu kez oldukça serbestsiniz:

Örtünüz düz olabilir, kare veya daire şeklinde olabilir. Hatta örtüyü istediğiniz gibi katlayabilirsiniz. Önemli olan solucanın dışarı taşmaması… Örneğin 1 birim uzunluğundaki solucanı ½ birim yarıçapındaki bir dairenin ortasına yerleştirebilirsiniz. Kolaylık olsun diye uslu yavrunun hiç kımıldamadığı ve dümdüz durduğunu varsayıyoruz. Diğer bir çözüm ise baklava şekilli örtüdür: Bu durumda baklavanın kırıklık noktaları 60 ve 120 derece açı yapacaktır (sırasıyla π/3 ve 2π/3 radyanlar).

Ayrıca uzun köşegeni de 1 birim uzunlukta olacaktır. Oysa bu problemin de kesin çözümü yok. 2003’te Norwood ve Poole dışbükey olmayan evrensel bir örtünün alanının en çok 0,260437 birimkare olacağını gösterdi. Bunun dışında yine Poole & Gerriets 1974’te, Poole ve Laidacker de 1992’de; örtünün maksimum alanını ancak büyük hata payıyla hesaplayabildi. Nihayet 2006’ya geldiğimizde Wang üst alan sınırını 0,270911861 birimkare olarak belirledi. Tabii matematikçiler hesaplamaya devam ettiler:

İlgili yazı: Düz Dünya Teorisini Çürüten 12 Kanıt

 

En problemli solucan yavrusu

Son olarak Khandhawit, Pagonakis ve Sriswasdi 2013’te minimum–maksimum stratejisi izlediler. Bu kez bir çizgi, bir üçgen ve dikdörtgen içeren dışbükey bir örtünün alanının en az 0,232239 birimkare olacağını gösterdiler. Oysa ta 1970’lerde John Wetzel pizza dilimlerinden esinlenerek bir daireden 30 derecelik bir dilim almıştı. Bu dilimin alanını da π/12 ≈ 0,2618 birimkare olarak hesaplamıştı. Bildiğimiz kadarıyla 1 birimlik düz çizgiye eşit yavru solucanımızı başı açıkta kalmadan saracak en küçük örtünün alanı budur.  Bütün bu çözümleri görmek için resme geri dönebiliriz:

Resimde bir kare, içinde bir daire ve dairenin ortasında da dik duran 1 birim boyunda solucan yavrusu var. Kare örtü solucan boyunun iki katı ve dairesel örtünün çapı da 1,79 katıdır. Yukarıdaki bütün hesaplamalar da en küçük örtüyü bulmaya yöneliktir. Özetle elimizdeki en iyi çözüme göre solucanı saracak en küçük örtünün genişliği solucan boyundan sadece yüzde 6 ila 6,5 daha uzundur.

En küçük örtüyü bir an önce bulmalıyız ki annesi de bebek solucanın kundağını toplamak için çok sayıda çengelli iğne atmaktan kurtulsun 😊 Ha gayret matematikçiler! Dünyadaki bütün toprak solucanları sizi bekliyor! Onlar canla başla çalışırken biz de hayatta kalmayla ilgili diğer geometri problemine bakalım:

İlgili yazı: DNA Tabanlı Biyolojik Bilgisayar ve Robotlar Geliyor

 

3. Ormanda kaybolmak büyük problem

Sonuç olarak solucan örtüsü problemi “Bellman’ın ormanda kaybolursan en kısa yoldan açık araziye nasıl çıkarsın” problemiyle yakından ilişkilidir. Diyelim ki yürüyüş yaparken ormanda kayboldunuz. Telefonun şarjı bitti, elinizde harita yok, nerede olduğunuzu bilmiyorsunuz. Bunu gösterecek biri ya da bir işaret de yok… Ormandan en kısa sürede çıkmak için hangi yolu izlemelisiniz? 1955’te ortaya atılan bu problemi çözmek gerçekten çok zordur.

Öyle ki 2002’de bir matematikçi bunu milyon dolarlık problem olarak adlandırdı. Asıl sorun ise ormanın şekliyle ilgili. Daireler ve üçten fazla kenarı olan bütün düzenli çok kenarlı alanlar için en kısa yol, bulunduğunuz noktadan dümdüz ilerlemektir. Böylece en kısa yoldan ormanın dışına çıkarsınız. Oysa iş üçgen şekilli bir ormana gelince işin rengi değişiyor. O zaman en kısa yolu bulamıyorsunuz. Bunun nedeni ise bir eşkenar üçgenin içinden geçen en kısa yolun zikzaklı yol olmasıdır. Peki hangi zikzak?

Öncelikle zikzaklı çizgi üçgenin içine sığmaz ve hep dışarı taşar. Bu da zikzağın en kısa yol olduğunu gösterir. Hatta zikzaklı çizgi üçgenin kenarlarından kısadır. Bu bağlamda en kısa zikzağı bulmanın yolu da solucan probleminden geçiyor gibi… Sonuçta bunlar bir çorabın tersi ve yüzü gibi birbiriyle ilişkilidir. Belirli bir şekle ve alana sahip örtüden dışarı taşan en kısa boylu solucanın uzunluğu, eşkenar üçgen şekilli ormandan dışarı çıkan en kısa yolun uzunluğuna eşittir. 😮

Bak sen şu probleme!

Kısacası solucan problemine uymayan çözümler orman problemini çözüyor. Burada detaya girmeyeceğim ama matematikçiler geçenlerde en kısa yolu bulmak için daha kolay bir yol geliştirdiler. Belki de 55 yıl önce kayboldukları ormandan nihayet dışarı çıkmayı başaracaklar! Onları yolunu bulmaya çalışırken biz de son problem olan sihirli karelere geldik:

İlgili yazı: 5 Soruda Paralel Evrenler

 

 

4. Sihirli kareler karesi problemi

Sihirli kareler en güzel zihin egzersizlerinden biridir. Bunun için istediğiniz sayıda kareye bölünmüş bir kare alır ve genellikle içine pozitif tamsayılar yazarsanız. 1, 2, 3 gibi sayıları öyle yazarsınız ki toplamları her yönde aynı sayıya eşit olur. Kendini cesur hissedenler için buna köşegenler de dahildir (kareyi ortadan kesen çaprazlar). Kafayı sıyırmamak için önce nispeten kolay çözümleri olan 3 x 3 kareyle deneyin. Çok eğleneceksiniz ama sorun nerede biliyor musunuz?

Sorun bunu 1², 2², 3²… gibi karesini aldığınız sayılar kümesiyle başarmaktadır. Bunların içinde en ünlüsü ise bulmaca tasarımcısı Martin Gardner’ın 1996’da ortaya koyduğu 3 x 3 düzenindeki sihirli kareler karesidir. Oysa bugüne dek kimse bu süper hiper mega sudokuyu çözemedi. Üstelik uygun sayı bulamadığımız için 1-2 karesi açıkta kalan çözümler de kesin çözüm için ipucu vermiyor.

Belki de bu tür kareleri tanımlayan denklemlerin 3 x 3 çözümü yoktur. Kim bilir? Yine de tıpkı Riemann hipotezinde olduğu gibi kimse bunun çözümsüz olduğunu da kanıtlayamadı. Her şeye rağmen sakın vazgeçmeyin derim. Eğer 18 yaşından büyükseniz ödülünüz 1000 avro ve bir şişe kaliteli şampanya olacak. 😉 Milyon dolarlık ödül olmasa da keyfine değer!

Sihirli kareler karesinin en güzel yanı bu problemi çözmek için matematik bölümü mezunu olmanızın gerekmemesidir. Bütün bu güzel problemleri çözmek çok eğlenceli; çünkü her şey para değil ve hep bir şeye yaramak zorunda da değil. Bazen zevkine çalışırsınız ve sırf başarmak da güzeldir ki matematik maceralarımız sürüp gidiyor:

İlgili yazı: Asteroit Madencileri Uzaydan Nasıl Maden Çıkaracak?

 

Problem çözmek için sonsöz

Öte yandan bu problemler yeni Klein şişeleri benzeri manifoltlar bulmaya da yarar. Böylece çoklu evren varsa içindeki evrenlerin yamuk olup olmadığını daha kolay hesaplarsınız. Basit bir zihin alıştırması yapayım derken yanlışlıkla mühendisliğin en büyük problemlerini de çözmüş olabilirsiniz. Öyleyse Newton’ın Pi sayısını nasıl hesapladığına şimdi bakabilir ve kuantum bilgisayarların matematiğini hemen görebilirsiniz.

Evrene bir de Heisenberg mikroskobundan bakıp insan bilincini matematikle kodlamak mümkün mü diye sorabilirsiniz. Hatta Sonsuzluk gerçek mi, yoksa matematik kurmacası mı diye merak edip matematiğin evrensel dil olup olmadığına da göz atabilirsiniz. Hızınızı alamayıp kara deliklerin merkezindeki tekillikler gerçek mi ve kuantum fiziği için karmaşık sayılar şart mı diye de sorabilirsiniz. Güneşli bir beldede tatil yapıyor olmanız dileğiyle bilimle ve sağlıcakla kalın. 😊

Sihirli kareler karesi

¹A list of problems in Plane Geometry withsimple statement that remain unsolved
²A  convex  cover  for  closed  unit  curves  hasarea at least 0.1
³Simple close curve magnetization and application to Bellman’s lost in the forest problem
⁴Win money with magic squares