Riemann Hipotezi ve Asal Sayı Şifrelemesi

Riemann hipotezini kullanarak sonsuz sayı dizilerindeki bütün asal sayıların yerini bulmak mümkün mü? Riemann hipotezi kanıtlanırsa N=NP problemini de kanıtlayabilir ve bu sayede yanıtını bilmediğimiz matematik sorularını en azından sonlu sürede yanıtlayıp yanıtlayamayacağımızı da öngörebiliriz. Böylece kuantum bilgisayarlar yoluyla sadece bugün internette kullanılan asal sayı tabanlı şifreleri kırmakla kalmaz, gelecekte kuantum bilgisayarlara karşı geliştirilecek en zor şifreleri de kırmanın yolunu da bulabiliriz. Kuantum internetin geleceğini belirleyecek olan ve çözen kişinin 1 milyon dolarlık Milenyum Ödülünü kazanacağı ünlü hipotezi görelim.

Rieman hipotezi nedir ve nasıl çalışır?

Kapak resminde Riemann hipotezi uyarınca asal sayıların “sayılar uzayındaki” dağılımını gösteren geometrik sarmalı görüyorsunuz. Bu da bir bilim yazarı olarak gördüğüm en hayranlık uyandırıcı ve bezdirici şeylerden biridir; çünkü matematiğin en büyük problemlerinden biri olan Riemann hipotezi 150 yıldır kanıtlamadı. Oysa kanıtlanması çok önemli. Ne de olsa Riemann hipotezi N=NP varsayımının ispatlanması yolunda da önemli bir adım olacak. Bunu başarırsak matematikte cevabını bilmediğimiz bir sorunun sonlu bir sürede çözülüp çözülemeyeceğini de öğreneceğiz.

Düşünün ki internet ve sibergüvenlikte modern şifreleme asal sayı çarpanlarına dayanıyor. Şifrelemede kullanılan sayılar genellikle asal sayı çarpanlarından oluşur. Bir bilgisayarın bunları çarparak yüzlerce rakamdan oluşan karmaşık bir sayı üretmesi ve bunu örneğin Windows parolası olarak kullanması kolay ama yüzlerce basamaktan oluşan bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak; yani işlemi tersine çevirmek çok zordur. Bu yüzden dünyadaki en güçlü süper bilgisayarların bile güçlü bir parolayı kırması binlerce, hatta milyonlarca yıl alabilir.

Öte yandan paralel çalışan kuantum bilgisayarlar bu tür karmaşık işlemlerin tüm ara aşamalarını aynı anda çözerek şifre kırmayı çok kolaylaştıracaktır. En geç bundan 15 yıl sonra devletlerin stratejik güç unsuru olarak saklayacağı kuantum bilgisayarların bugün internette kullanılan bütün şifreleri kıracağını tahmin ediyoruz. Nitekim yazılımcılar bunu önlemek için kuantum bilgisayarların çözmesi zor olan yeni şifreleme yöntemleri geliştiriyor ve bu da bizi Riemann hipotezine getiriyor:

İlgili yazı: Kodlama İçin En Gerekli 16 Programlama Dili

 

Riemann zeta fonksiyonu

Riemann hipotezine göre Riemann zeta fonksiyonu sadece eksi işareti taşıyan tamsayılar ve gerçek sayı bileşeni 1/2 olan karmaşık sayılarla çözüldüğü zaman 0 değerini verir. Sibergüvenlik ve kişisel verilerin gizliliği açısından açıklarsak Riemann hipotezi doğruysa klasik bilgisayarların şifre çözmesi de kolaylaşacaktır; çünkü doğal sayılarla sonsuza dek saysak bile bu kümeye ait bir sayı dizisi üzerindeki asal sayıların hangi aralıklarla dizildiğini, yani çok büyük iki asal sayı arasında bile kaç tamsayı olduğunu bileceğiz. Bu da N=NP’yi de kanıtlayabileceğimizi gösteren en güçlü örneklerden biri olacaktır.

Nitekim Clay Enstitüsü Riemann Hipotezi problemini bin yılın en büyük matematik problemlerinden biri olarak gösterdi ve bunu kanıtlayacak kişiye 1 milyon dolar Milenyum ödülünü vereceğini duyurdu. Riemann hipotezi kanıtlanıp arkası çorap söküğü gibi gelirse bugün ve yakın gelecekte kullanmayı düşündüğümüz şifrelerin de kırılabileceğini hesaba katmamız gerekecektir. Hipotezi kanıtlayan kişi ise adını tarihe altın harflerle yazdırarak insanlar yaşadığı sürece ölümsüzlüğü yakalayacaktır.

Bu yüzden 1 milyon dolarlık ödül bence az bile ama Riemann Hipotezi nedir ve nasıl çalışır? Bu blogda karmaşık konuları basit ve anlaşılır bir dille açıklamayı görev edindik ve sırada en büyük matematik problemlerinden biri var:

İlgili yazı: Gerçek Adem: ilk insan ne zaman yaşadı?

 

Riemann hipotezi ve asal sayılar

Asal sayılar 1, 2, 3, 4, 5… diye saymakta kullandığımız doğal sayılar kümesinin bir alt kümesidir. Bunlar 1’den büyük olan ve 1 ile kendisinden başka hiçbir sayıya bölünemeyen sayılardır (Bu arada 1 asal sayı değildir; çünkü sadece kendisine bölünebilir. 11 asal sayıdır ama aynı zamanda eksik sayıdır; çünkü 11’in bölünebildiği sayıların toplamı 2 x 11’den küçüktür: 1 x 11 = 11 < 22).

Peki Riemann varsayımı neyi çözmek istiyor? Asal sayılara baktığımız zaman bunların doğal sayılar arasında rastgele ortaya çıktığını görüyoruz. Peki ya asal sayıların bir düzeni varsa ve hesaplayabileceğimiz belirli aralıklarla ortaya çıkıyorlarsa? İşte o zaman matematikte devrim yaşanacaktır. 1700’lerde matematikçiler asal sayıların doğal sayılardaki yerini öngörüp göremeyeceklerini merak etmeye başladılar. Carl Friedrich Gauss adlı genç Alman matematikçi asal sayılara kafayı takmıştı ki 3 milyona kadar yer alan bütün asal sayıları tek tek hesapladı.

Ardından asal sayılar tablosuna bakarak bunları saymaya yönelik bir asal sayı sayma fonksiyonu geliştirdi. Resimde göreceğiniz gibi bu fonksiyon basamaklı sayı artışı gösteriyor (asal sayılar basamak köşelerine karşılık geliyordu) ama 10–100 yerine 100–3 milyon gibi daha çok sayıyı dikkate aldığınızda grafikteki sayılara uzaktan bakar gibi oluyordunuz. O zaman basamaklar gözden kaybolarak çizgi düzleşiyordu.

Gerçi Gauss 3 milyondan sonra gelen asal sayıları öngörecek bir fonksiyon geliştirmemiş, sadece saydığı kadarından çıkan fonksiyonu bir kenara yazmıştı. Peki asal sayılar sonsuza dek fonksiyonu izliyor muydu? Bu fonksiyonu asal sayıları öngörmekte kullanabilir miydi?

İlgili yazı: İnternetinizi Uçuracak En İyi 10 Modem

 

Asal sayılar ve Almanlar

Şansımıza Gauss o sırada logaritmik fonksiyonlarla oynuyordu. Sonuçta logaritma 10² x 3⁵ gibi üstel çarpımları tersine çeviren bir fonksiyondur. Tıpkı basit bir çarpım işleminin bölme işlemini tersine çevirmesi gibi… Yine resimde görüldüğü üzere Gauss saydığı asal sayı fonksiyonunun 1/logx logaritmik fonksiyonuna benzediğini fark etti ki buna logaritmik entegral deriz. Öyle ki logaritmik entegral basamakları ile asal sayı basamakları grafik üzerinde göründüğü kadarıyla örtüşüyordu.

Oysa Gauss’un elinde bir kanıt yoktu. İki fonksiyonun sonsuza dek örtüştüğünü gösterip tüm asal sayıları öngöremedi. Yine de 19. yy’da geliştirilecek Riemann hipotezinin temellerini atmış oldu (buna Gauss varsayımı adı verildi ki Bernard Riemann, Gauss’un öğrencisiydi). Şimdi 1/logx’in asal sayılarla ne ilgisi olabileceğini görelim:

18 yy’da matematiğin altın çağında yaşadığımızı unutmayın ki sırada kalkülüsün ilk öğrencilerinden olan Leonard Euler var: Entegrallerle yakından ilgili olan kalkülüs sonsuz küçüklüklerden sonlu büyüklükler hesaplamamızı sağlayan (resme bakınız) ve Newton ile Leibniz tarafından bağımsız olarak geliştirilen bir yöntem olup genel görelilik teorisinde de kullanılır. Kısacası Euler modern matematik notasyonunu geliştirdi. Siz de derslerinizde y=f(x) gibi bir fonksiyon yazarken artık kime teşekkür edeceğiniz ya da kimi suçlayacağınızı biliyorsunuz. 😉

Riemann hipotezi ve Euler

Euler’in zamanında matematikçiler sonsuz dizilerin genel yapısını anlamaya çalışıyordu ki bu da ¼ ve 1/8 gibi sayıları sonsuza dek birbirine ekleyerek üretebileceğiniz dizilerdir. Bazen bu tür sonsuzlukların toplamı sonlu olur ki az önce sonsuzluklardan sonlu sayılar üretmemizi sağladığını söylediğim kalkülüsle bu yakından ilgilidir. Biz de bu sayede bir ülkenin yüzölçümü ve bir kupanın hacmini hesaplayabiliriz. Entegraller, limitler, türevler ve kalkülüs mühendislerin kutsal kitabıdır. Bu tür sonsuzlukların sonlu sayılara yaklaşmasına yakınsama deriz. Örneğin resimdeki gibi kesirler 2’ye yakınsayabilir:

İlgili yazı: Düz Dünya Teorisini Çürüten 12 Kanıt

 

Riemann hipotezi ve kesirler

Neden kesirleri anlatıyorsunuz hocam derseniz, sonsuza dek kesirleri toplamak yerine 1 + 1 + 1… diye diziler oluşturmayı deneyin. Bunlar asla yakınsamaz ve sonsuza dek artar. 😉 Bu tür dizilere matematikte ıraksayan diziler deriz. Matematikçiler ise ½, ¼, gibi paydası devamlı artan kesirleri sonsuza dek eklediklerinde bunların yakınsayıp yakınsamayacağını öngörmek istiyordu; çünkü bu her zaman olmaz. Örneğin paydaların sürekli artmasına ve dolayısıyla kesirli sayıların sürekli küçülmesine karşın resimde görülen uyumlu seriler gerçekte ıraksamaktadır.

Aslında matematikçiler paydası pozitif tamsayı kareleri olarak artan kesirlerin yakınsadığını gösterebiliyordu. Oysa matematikte bir dizinin yakınsadığını göstermekle limitini almak, yani o serinin sonsuzlukta tam olarak hangi sayıya yakınsayacağını göstermek aynı şey değildir. Dahi Euler işte burada devreye girdi ve resimdeki s dizisinin limitinin π²/6 olduğunu gösterdi. Gerçi matematikçi gözüyle bakarsak pi sayısının karelerle ilgili olması garip geliyor ama bu başka bir yazının konusu.

Bizim açımızdan en önemli nokta Euler’in hızını alamayarak payı π ², π ⁴, π ⁶ gibi olan kesirlerin limitini de almayı başarmış olmasıdır. Şimdi diyeceksiniz ki ama hocam, bunun bir fonksiyonu yok mu? Var tabii! Zeta fonksiyonu: Bu fonksiyonda tam sayıların üstel fonksiyonlarını resimdeki gibi soldaki parantezin içine s yazarak gösteririz. Örneğin z = 2, 2² ve z = 4 de 2⁴ demektir vb. (z = s, x^s’dir). Euler S > 1 olduğu sürece bütün bu dizilerin yakınsadığını kanıtladı. Bu da bizi Riemann hipotezine getiriyor:

İlgili yazı: Zamanda Yolculuk Etmenin 9 Sıra Dışı Yolu

 

Riemann hipotezi ve karmaşık sayılar

Euler zeta fonksiyonunun sonsuz bir sayı dizisindeki her bir asal sayının sonsuzluk veren çarpanları olduğunu gösterdi. Bu ne demek dersiniz resme bakın: Paydası asal sayı olan bütün kesirleri alın (örneğin 1/7). Sonra bunların s değeriyle üstel fonksiyonunu alın (örneğin 1/7^s, s = 2 üzerinden 1/7² vb.), sonra bu üstel fonksiyonları her bir asal sayı paydalı kesir için doğal sayılarla çarpın (1/^2s, s = 2 üzerinden 1/7⁴ ve 1/7^3s, 1/7⁶ vb.). Şimdi elinizde asal sayı paydalı sonsuz kesirli sayı içeren sonsuz sayıda dizi oldu. Hemen bu iki sonsuzluğu çarpın. Ne elde edersiniz? Zeta fonksiyonunu tabii ki! 😊

Özetle Euler’in zeta fonksiyonu sonsuz doğal sayılar dizisindeki asal sayıları öngörebileceğimizi ima ediyor ve böylece Riemann hipotezini temelini atıyordu. 1826 doğumlu Alman matematikçi Bernard Riemann yalnızca kendi adıyla anılan varsayımı geliştirmemiş (1859), aynı zamanda Einstein’ın görelilik teorisinde yerçekiminin uzayı nasıl büktüğünü göstermesine yardım etmiştir (düz geometri yerine eğri Riemann geometrisiyle).

Bunu anlamak için önce karmaşık sayıları görmemiz gerekiyor. Karmaşık sayılar gerçek ve sanal sayıların toplamından oluşur. Bütün gerçek sayıların karesi pozitiftir. -2’nin karesi de pozitiftir (4). Sanal sayıları ise -1^’in karekökü ile gösterir ve i harfiyle yazarız (i² = -1). Dolayısıyla karmaşık sayılar gerçek sayılar ile sanal sayıların (i) toplamı olarak yazılır. 5 + i, -12 + 3i gibi. Karmaşık sayılar iki ayrı sayı değil, tek sayıdır. Sadece gerçek ve sanal olmak üzere iki ayrı bileşenden oluşur. Kartezyen düzlemde bu karmaşık sayıların gerçek sayı bileşenlerini y çizgisi ve sanal bileşenlerini de x çizgisinde gösteririz.

Izgaralı resimlere bakın!

Düz ızgaralar karmaşık sayıları ve eğri ızgaralar da karmaşık sayılı fonksiyonları gösterir. Düz ızgaraların köşeleri karmaşık sayılara ve eğri ızgaraların kesişme noktaları da karmaşık sayılı fonksiyonların karmaşık sayılı çözümlerine karşılık gelir. Karmaşık sayılar iki uzay boyutundan daha fazla boyutu hesaplamamızı sağlar. Karmaşık sayı düzlemleri üç boyutlu olarak dönebilir. Karmaşık düzlemler 2B düzleme göre dönebilir, rotasyon yapabilir (menteşeli bir kapıyı açar gibi). Gelelim Riemann’ın kompleks sayılı analitik geometriyle matematikte açtığı kapıya:

İlgili yazı: 18 Ayda Nasıl 24 Kilo Verdim?

 

Riemann hipotezi

Riemann dedi ki zeta fonksiyonunda tamsayıların üstel fonksiyonunu gösteren s karmaşık sayı olursa ne olur? Örneğin s = 2 + 3i olsun. O zaman zeta fonksiyonlu kesirli sayılar dizisi karmaşık sayılar fonksiyonunun eğri ızgaralı düzleminde çizgilerin belirli bir kesişme noktasına karşılık gelecektir. s = -2 + 4i olduğunda da başka bir kesişmeye karşılık gelecektir. Böyle sonsuz sayıda karmaşık zeta fonksiyonu sonucu vardır. Bunları düzlemde yan yana gösterirseniz yazımızın başındaki sarı resimde görülen sarmal çizgileri elde edersiniz. Gerçi bu sayı dizileri yalnızca s > 1 olduğunda yakınsayacaktır.

Riemann kendi hipotezini geliştirirken doğal sayılardan oluşan zeta fonksiyonunu aldı ve karmaşık sayılardan oluşan karmaşık zeta fonksiyonu ile birleştirdi. Bunun için de analitik süreğenlik denilen bir yöntemden kullandı. Nasıl ki karmaşık sayılar gerçek ve sanal sayı bölümlerinden oluşarak karmaşık düzlemde gösterilir, karmaşık zeta fonksiyonu da doğal ve karmaşık sayılardan oluşup birbirine hizalanan iki ızgaraları düzlemle gösterilir.

Pekala

Bütün bu anlattıklarımızın ışığında Riemann hipotezi nedir? Riemann doğal ve karmaşık zeta fonksiyonu sonuçlarının bir arada gösterildiği karmaşık düzlemde bu fonksiyonların 0 değeri alabileceği sonsuz sayıda nokta olduğunu gördü ama iki fonksiyonunun birbiriyle örtüştüğü durumları da hayal etti. Bundan yola çıkarak dedi ki s’nin 0 ile 1 değerlerini aldığı y çizgisi aralığında, tam da gerçek ½ sayısını gösteren dikey çizgi üzerinde sonsuz sayıda 0 olacaktır.

Riemann bunun ardından Gauss’un asal sayılar dizisini ve Euler’in zeta fonksiyonunu aldı. s = 1 olduğunda zeta fonksiyonu Gauss’un asal sayı basamaklarının köşelerinden geçiyordu. Son olarak Riemann karmaşık zeta fonksiyonunun gerçek sayı kısmı ½ olduğunda 0 sonucunu verdiği her bir işlemi aldı ve bunları Gauss’un asal sayıları gösteren basamaklarının logaritmasıyla (log_(p)) eşleşeceğini gösterdi. O zaman Riemann hipotezi konusunu bağlayabiliriz:

İlgili yazı: Buzul Çağı Nasıl Oluşur ve Ne Zaman Geri Gelecek?

 

Sonuç olarak

Riemann hipotezine göre karmaşık zeta fonksiyonunun ½ ile 0 sonucunu aldığı her işlem asal sayılar fonksiyonundaki bir asal sayı logaritmasıyla eşleşecektir. Bu hipotez doğruysa sonsuz sayı dizilerindeki bütün asal sayıların yerini bilebiliriz! Unutmayın: Euler zeta fonksiyonunun sonsuz bir sayı dizisindeki her bir asal sayının sonsuzluk veren çarpanları olduğunu göstermiştir ve log_(p) de bu işlemin tersidir.

Oysa Riemann hipotezini kanıtlayamadık. Sadece karmaşık sayı fonksiyonunun ½ ile 0 değerini aldığı bütün noktaların log_(p) basamaklarıyla eşleştiğini 10 trilyona kadar gösterdik. Bu hipotezin tüm 0 eşleşmeleri için geçerli olduğunu kanıtlayacak dahi ise 1 milyon dolarlık Milenyum Ödülünü alacaktır. 😮

Peki sonsuzluklar gerçek mi yoksa sadece matematikte mi var? Peki ya matematik evrenin dili mi yoksa insan icadı mı? İkisini de şimdi okuyabilir, fizikte tanrı var mı diye sorabilir ve evren bir simülasyon mu diye merak edip kozmik bilgi-işlem kapasitesini hesaplayabilirsiniz. Karlı havalar geçmeden lapa lapa karda güzel yürüyüşler yapacağınız verimli bir hafta dilerim. Bilimle ve sağlıcakla kalın.

Zeta fonksiyonunu görelim

¹A Proof of Riemann Hypothesis
²A new approach to the Riemann hypothesis
³An attempt of proof of Riemann Hypothesis