Karmaşık Sayılar Kuantum Fiziği İçin Gerekli mi?

Karmaşık sayılar nedir? Peki karmaşık sayılar gerçek mi ve kuantum fiziği için gerekli mi? Bu soruları “matematik evreni anlamak için kullandığımız insan buluşu bir model mi, yoksa evrenin doğal dili mi” bağlamında ele alalım. Karmaşık sayıların kuantum fiziği için gerekli olup olmadığı kozmoloji açısından da çok önemli. Bu sayılar gerçekse evren gözle görülemeyecek kadar küçük ek uzay boyutları içeriyor olabilir. Tıpkı sicim teorisine göre evrenin 10 boyutlu uzaydan oluşması gibi.

Karmaşık ve sanal sayılar

Dahası karmaşık sayıların sanal sayılardan oluşan bir bileşeni var. Sanal sayıları Hawking’in sanal uzay varsayımında olduğu gibi evrenin büyük patlamayla nasıl oluştuğunu açıklamakta kullanıyoruz. Üstelik parçacıklar arasındaki etkileşimleri de sanal parçacıklarla açıklıyoruz. Elektromanyetik kuvvetin elektronlar arasındaki sanal foton alışverişiyle etkimesi gibi…

Karmaşık sayıları matematiksel analizde, cebirde kullanıyoruz. Elektromanyetizma ve genel görelilikte kritik değiller ama hesaplamayı kolaylaştırıyorlar. Öte yandan kuantum mekaniği denklemleri karmaşık sayılarla işliyor. Her ne kadar denklem çözümleri gerçek sayılar olsa da bunlar karmaşık sayılı kuantum denklemlerinin çözümleridir.

Bell eşitsizliği evrenin yerel olmadığı ve doğada yerel gizli değişkenler bulunmadığını gösterdi. Karmaşık sayıların gerçek olduğunu öne süren yeni makalede ise başka bir deney var. Bu deney gerçek sayılara dayalı kuantum mekaniği olmadığını kanıtlamayı amaçlıyor. Öyle ki evrende sadece halihazırda bildiğimiz karmaşık sayılı kuantum mekaniği olabilir. Peki bu doğru mu ve kuantum mekaniği için karmaşık sayılar gerçekten şart mı? Bu ilginç konuyla ilgili bildiklerimizi yeni makale ışığında görelim.

İlgili yazı: Gerçek Adem: ilk insan ne zaman yaşadı?

 

Karmaşık sayılar ve kuantum mekaniği

Karmaşık sayılar gerçek mi ve kuantum fiziği karmaşık sayılar kullanmak zorunda mı tartışmasına girmeden önce bu sayıların bize büyük kolaylık sağladığını belirtelim. Fizik bilimi denklemler yoluyla doğayı, fizik kuvvetlerini ve fiziksel olguları açıklıyor. Denklemleri kolayca çözmek için de karmaşık sayıları kullanıyoruz. Evreni hesaplamak için sadece reel sayıları (gerçek sayılar) kullansak işimiz çok uzun sürerdi… Bulaşıkları elde yıkamak mı daha kolay, yoksa makinede yıkamak mı? Onun gibi bir şey.

Biz bunu derken linkini sayfanın sonunda bulacağınız yeni bir bilimsel makale yayınladılar. Makalenin yazarları karmaşık sayıların gerçek olduğu, kuantum mekaniğinin karmaşık sayıları kullanmak zorunda olduğunu öne sürdüler. Kuantum holonomide anlattığım üzere bilim insanları fizik ve matematiğin evrenin doğal dili olmadığını düşünüyor. Bunlar evreni anlamak için kullandığımız insan buluşu dillerdir. Yine Schrödinger’in kedisinde gördüğümüz gibi kuantum fiziği eksiktir. Evrenin büyük patlamayla nasıl oluştuğu ve yerçekiminin kökeni gibi sorulara tam yanıt veremiyor.

Bu yüzden fizikçiler kuantum mekaniğinden çıkan sonuçların, deney ve gözlemlerin ne anlama geldiğini yorumlamak zorunda kalıyor. Bu konuda iki cephe var: “Her şeyi bilemezsin. Sus ve hesapla!” ve “Evren neden öyle sorusunu hep sor ve daha detaylı yanıtlamaya çalış.” İşte karmaşık sayılar kuantum fiziği için şarttır diyen makale 100 yıllık bu tartışmayı alevlendirdi. Biz de karmaşık sayılar nedir ve denklem çözmekte bize nasıl yardım eder sorularıyla başlayalım:

İlgili yazı: Kodlama İçin En Gerekli 16 Programlama Dili

 

Karmaşık sayılar nedir?

Karmaşık sayılar gerçek sayı ve sanal sayı bileşenlerinden oluşur. Sanal sayılar -1’in karekökü gibi sayılardır (x²= -1) ve i harfiyle gösterilir. Bu durumda 2 + 3i gibi bir sayı karmaşık sayı olur. Nitekim x²= -1 denklemini gerçek sayılarla çözemezsiniz. Gerçek sayılar ise virgülden sonra sonsuz basamağı olan sayılardır. 2’nin karekökü ve pi sayısı gibi (3,14159265359∞). Gerçek sayılar kümesi 17 gibi tam sayıları ve 2/3 gibi kesirli sayıları da kapsar.

x²= -1 denklemini gerçek sayılarla çözemezsiniz; çünkü -1’in karesi +1 olup gerçek sayılarda -1’in karekökünü almak imkansızdır. Böyle bir gerçek sayı yoktur. Bunun için sanal sayılar devreye girer. İşin ilginci gerçek ve sanal sayı bileşenlerinden oluşan ve z = a + ib diye yazabileceğimiz karmaşık sayılar var. Biz de bunlarla en zor cebir denklemlerini bile prensipte çözebiliriz (a ve b her zaman gerçek sayılardır). Kısacası cebir denklemleri ne kadar uzun ve karmaşık olursa olsun bunların sonuçlarını a +ib’ye indirgeyebilirsiniz.

Önemli nokta: Karmaşık sayılarla virgülden “önce” sonsuz basamak bulunan sayılar içeren cebir denklemlerini çözemezsiniz ama p-adic sayıları başka gün yazarım. 😉 Her durumda karmaşık sayıların gerçek kısmı a ve sanal kısmı ib’dir (b gerçek sayı olmakla birlikte ib çarpımı sanaldır; çünkü i -1’in kareköküdür). Peki karmaşık sayıları resimdeki gibi x, y Kartezyen düzleminde gösterirsek ne olur? O zaman x çizgisi üzerindeki sayılar gerçek sayılar ve y çizgisi üzerindekiler de sanal sayılar olacaktır. Bu durumda karmaşık sayıları bir ızgaranın kareleri olarak çizip her köşeyi iki gerçek sayıyla gösterebiliriz.

Karmaşık sayı çarpımları

Peki bu karmaşık sayıların iki boyutlu gerçek sayı vektör uzayından oluştuğu anlamına mı geliyor? Buna yazının sonunda başka bir bağlamda geri geleceğim ama yanıtı hayır. Sonuçta karmaşık sayıları birbiriyle rastgele çarpamayız. Karmaşık sayıların bir çarpım sırası vardır ve bunu –1‘in karekökünü dikkate alarak belirleriz. Evet, karmaşık sayıları birer vektör gibi toplayabiliriz ama çarpım kuralları onları gerçek sayılardan farklı kılar. Birebir benzetme değil ama gerçek sayılar 2B kare olsaydı karmaşık sayılar 3B küp olurdu. Çarpım sırası üçüncü boyutu eklerdi. Matematik diliyle söylersek karmaşık sayılar gerçek sayılar gibi birer alandır ama toplama ve çarpma için ayrı kuralları vardır. Peki karmaşık sayılan neden matematikte çok yararlı?

İlgili yazı: Bütün İlaçlara Bağışıklı Olan Ölümsüz PhiKZ Virüsü

 

Karmaşık sayılar ile hızlı hesaplar

Örneğin alfa (α) gibi bir gerçek sayı alın, i ile çarpın ve bunu üstel fonksiyon olarak yazın (e^αi). Ne elde edersiniz? Karmaşık sayılar düzleminde e^αi sayısı çapı 1 birim olan bir dairenin kenarı, yani onu saran çember üzerinde yer alır. e^αi çemberi oluşturan sonsuz sayıdaki noktalardan biri olur ve α değeri artarken diğer noktalara da karşılık gelir. Böylece çemberin tamamını çizersiniz (resme bakın). Özetle e^αi üstel fonksiyonu karmaşık sayılardan oluşur.

Peki bu sayının sadece gerçek veya sanal bileşenini alırsanız ne olur? O zaman resimdeki gibi bir salınım elde edersiniz. Resimdeki kırmızı ve yeşil noktalar karmaşık sayının değeri artarken gerçek ve sanal bileşenlerin salınımlarına karşılık gelir. Beyaz nokta tabii ki karmaşık sayının kendisidir. Nitekim bu karmaşık üstel fonksiyonu kosinüs (α) + i.sinüs (α) toplamıyla gösteririz ancak dahası var:

e^αi ve e^βi gibi iki karmaşık üslü sayı alıp bunları çarparsanız (e^αi . e^βi) bunun sonucunu hesaplamak için üslü kısımları toplamak yeterli olur: e^{(αi + βi)}. Karmaşık sayı kısmını saymazsanız bu da okuldan alışık olduğumuz basit bir matematik işlemidir. Oysa cos (α) . cos (β) ile cos (β) . cos (α) çarpımları birbirine eşit değildir. Bu işlemler 2 x 3 ile 3 x 2 gibi aynı sonucu vermez. Bu nedenle bir fizik denklemini karmaşık sayılarla hesaplarız. Oysa denklemin çözümünü ya gerçek sayı ya da sanal sayı olarak alırız. Örneğin:

İlgili yazı: Düz Dünya Teorisini Çürüten 12 Kanıt

 

Karmaşık sayılar ve elektromanyetik alan

Mesela elektromanyetik radyasyon (ısı, ışık, radyo dalgaları, mikrodalgalar, milimetre altı dalgalar, kızılaltı, morötesi ışınlar, X ve gama ışınları) bir kuantum alanıdır. Kuantum alanları fırtınalı bir deniz gibi kaotik olarak dalgalanır. Bu yüzden elektromanyetik radyasyonun şiddetini ölçmek gibi hesaplamaları gerçek sayılarla yaparsak işlem çok uzun sürer. Öte yandan yukarıdaki resimde gördüğünüz salınımlardan esinlenerek hesaplamayı karmaşık sayılarla yaparsak işimiz kolaylaşır. Sonuçta elektromanyetik alan birbirine dikey salınan elektrik alanı ve manyetik alandan oluşur.

Bunun için elektromanyetik alanı e^i(α+β) olarak yazarız. Karmaşık sayılar karmaşık olabilir ama fizik hesaplamalarında bunlar kısayol tuşlarıdır. Oysa unutmayın! Karmaşık sayıları kullanmak zorunda değiliz. Çoğu durumda gerçek sayılarla işlem yapmak da yeterli olur ama gerçek sayılar işimizi uzatır. Kuantum denklemleri ise hep karmaşık sayılarla işler. Demek ki kuantum mekaniği olmasa karmaşık sayılar matematik kurmacasıdır diyecektik.

Sonuçta matematiksel yapıları yalnızca gözlemleri betimlemek için gerekli olduğu zaman fiziksel gerçeklik olarak kabul ederiz. Kuantum mekaniğini saymadığınız sürece karmaşık sayılara matematik aracı deyip geçebilirsiniz. Kuantum mekaniğinde ise Schrödinger denklemi ve normalleştirmeyle çözdüğümüz dalga fonksiyonu vardır. Bu fonksiyon evrendeki parçacıkların olası davranışlarını gösterir, yani bir elektronun sola dönme ihtimalini kesin olarak hesaplamamızı sağlar (elektronun ne yapacağını kesin bilemeyiz ama olasılıkları kesin olarak hesaplarız). Bunu daha yakından görelim

İlgili yazı: 5 Soruda Paralel Evrenler

 

Karmaşık sayılar ve kuantum mekaniği

Mademki Schrödinger denklemine olasılık dalga fonksiyonu diyoruz ve mademki bu fonksiyon salınım yapıyor, dahası süper karmaşık evrenimizi tanımlıyor; öyleyse denklemi çözmek için karmaşık sayıları kullanabiliriz! Kuantum fiziğinde olasılık dalga fonksiyonunu Ψ (psi) olarak yazar ve bunu Schrödinger denklemiyle çözeriz. Resimde gördüğünüz gibi bu denklemde sanal sayı çarpanı var, ama denklemi çözmek için karmaşık sayıları sadeleştirmemiz gerekiyor. Buna normalleştirme diyoruz.

Kısacası bu denklemi nümerik olarak çözmek isterseniz sanal ve gerçek sayılar olmak üzere iki parçaya ayırırsınız. Karmaşık sayıların sanal sayı bileşeni de sanal sayı çarpanı i (-1’in karekökü) ve gerçek sayı bileşeni içerir. Sanal sayının belirli bir değeri her zaman i’nin gerçek sayıyla çarpımıdır. Bu da Schrödinger denklemini çözerek fiziksel bir ölçümün sonucunu hesapladığınızda çözümün her zaman gerçek sayı olacağını gösterir (normalleştirme).

Demek ki kuantum fiziğinde karmaşık sayıları gerçek ve sanal bileşenlerine ayırarak onlardan kurtuluruz. Karmaşık sayılarla hızla çözülen klasik fizik denklemlerinin tersine Schrödinger denkleminin sadeleştirilmesi gerekir. Bu yüzden bilim dünyasında yaygın olan görüşe göre karmaşık sayılar kuantum mekaniği için de şart değildir. Oysa Olivier Renou ve meslektaşlarının yayınladığı yeni makale bunun tersi söylüyor. Karmaşık sayılar kuantum mekaniği için şarttır diyor. Peki bunu nasıl hesapladılar?

İlgili yazı: Zamanda Yolculuk Etmenin 9 Sıra Dışı Yolu

 

Karmaşık sayılar ve dolanıklık

Renou ve ekibi elbette ki dalga fonksiyonunu sanal ve gerçek parçalara ayırırsak ne olur diye sormadı. Bunu zaten yaptığımız için makalede önemli olmazdı. Bunun yerine tek bir parçacık değil de birden fazla parçacık içeren bir kuantum sisteminde ne olur diye sordular. Sonuçta bu sistemin genel dalga fonksiyonu tek tek parçacıkların dalga fonksiyonun toplamıdır ve bunların birlikte nasıl etkileştiğini gösterir. Zaten olasılıkları salınan dalgalar gibi hesapladığımız için dalga fonksiyonu diyoruz. 😉

Özetle her parçacığın dalga fonksiyonu bir karmaşık sayı değeri alır ve bunların birleşimi olan genel dalga fonksiyonu da karmaşık sayı değeri alır. Diyelim ki bizim üç parçacığımız var. Bu durumda bunların genel dalga fonksiyonu hangi parçacığın hangi parçacıkla dolanık olduğuna bağlıdır. İki parçacık dolanıksa bunların özellikleri bağıntılıdır. Deneysel olarak bu dolanıklık bağıntısının kuantum teorisi olmadan, yalnızca klasik fizikle hesaplayabileceğiniz bağıntılardan güçlü olduğunu biliyoruz.

Yeni makalenin yazarları bu yüzden şunları sordular: Acaba Schrödinger denklemini sadece karmaşık sayılarla çözersek ne olur? Parçacıkları tümüyle karmaşık sayılara özgü bir şekilde dolanıklığa sokabilir miyiz? Bu dolanıklık Schrödinger denklemini salt gerçek sayılarla çözerek elde edeceğimiz dolanıklıktan farklı olur mu? Gerçek sayılarla asla elde edemeyeceğimiz bir dolanıklık bağıntısı olur mu? Bu soruların kuantum mekaniği için karmaşık sayılar şart mı sorusunun teknik versiyonu olduğuna dikkat edelim. Bir lambadan yayılan fotonlar gibi aynı kaynaktan gelen parçacıklar için bunun yapabileceğimizi biliyoruz.

Gerçek sayılar karmaşık sayılara karşı

Oysa yeni makaleyi yazan bilim insanları farklı kaynaklardan gelen iki fotonu bile salt karmaşık sayılara özgü bir dolanıklığa sokabileceklerini söylediler. Daha da ileri giderek bu varsayımı test edecek özel bir deney tasarladılar. Diğer fizikçiler bu deney yöntemini henüz test edip onaylamadılar ama deneyi yapar da karmaşık sayılara özgü dolanıklık bağıntıları bulursak fizikte devrim olur. Bu durumda evrende karmaşık sayılar olmadan ölçemeyeceğimiz olaylar olduğu ortaya çıkar. Bu da karmaşık sayılar gerçek demektir ki gerisi çorap söküğü gibi gelir. Peki bu ne anlama geliyor derseniz: Evrenin büyük patlamayla nasıl oluştuğunu karmaşık sayılarla açıklayabiliriz!

İlgili yazı: Schrödinger Kedisi Hem Ölü Hem Canlı mı?

 

Gerçek sayılar metafiziği

Diyelim ki Renou ile ekibi haklı ve salt karmaşık sayılarla hesaplanabilecek olan dolanıklık türleri var. Evrende bu şekilde dolanıklığa giren parçacıklar görmedik. Diğer yandan salt karmaşık sayılı dolanıklıklar en azından teorik olarak mümkünse bunun devrimsel sonuçları olacaktır. Bu deney bize bu tür dolanıklıkların matematiksel açıdan var olduğunu gösterdi diyelim. O zaman ne olacak?

Öncelikle kuantum mekaniğinin yerel olmadığını biliyoruz; çünkü 1 milyar ışık yılı uzaktaki iki foton da birbiriyle dolanık olabilir. Birinin durumu değişirse diğerinin durumu da anında değişir. Öyleyse kuantum fiziğinde uzaktan etki vardır ve bu yüzden kuantum mekaniği yerel olmayan bir teoridir. Deyim yerindeyse ağaçların şekli (parçacıkların kuantum durumu) ormanın şeklinden (evreni saran kuantum alanları) ve ormanın şekli de tek tek ağaçlardan etkilenir. Her şey karşılıklıdır.

Bu durumda karmaşık sayılı kuantum teorisiyle tanımlanan yaşadığımız evren salt gerçek sayılardan oluşan ve dolayısıyla klasik fiziğe uyan başka bir evrenin simülasyonudur. Özetle evrenin altında başka bir evren yatıyor. Yaşadığımız evren 3 uzay boyutundan daha çok boyut içeren bir klasik fizik evreninin (klasik fiziğin geçerli olduğu metafizik evrenin) yalnızca 3 uzay boyutundan oluşan karmaşık sayılı bir kuantum teorisi projeksiyonu veya simülasyonu oluyor. 😮 Peki bu gerçeklik için ne anlama geliyor?

İlgili yazı: Dünyadaki En Ölümcül 5 Toksin Nedir?

 

Kuantum gerçeklik nedir?

Renou haklıysa evrenin kuantum mekaniği simülasyonu yapan ama klasik fizikle çalışan bir bilgisayar olduğunu söyleyebiliriz (Bkz. Evren içi boş bir hologram mı?). Yaşadığımız evrenin yerel gizli değişkenler içermediği, yani klasik fizik yerine kuantum mekaniğine tabi olduğunu biliyoruz. Oysa evren klasik fizikle çalışan +3 boyutlu bir evrenin projeksiyonu, sadeleştirilmiş versiyonu ise dolanıklık dediğimiz uzaktan etki de ancak ışıktan hızlı iletişimle gerçekleşiyor demektir. Işıktan hızlı iletişim nasıl mümkün olabilir?

Sicim teorisi dolanıklığı mikroskobik solucandelikleriyle açıklamaya çalışıyor. Buna göre iletişim sinyalleri ışık hızını aşmıyor ama evrenin uzak köşelerini kısayolla bağlayan mikro solucandelikleri var. Bunlar ışığın ışıktan hızlı yolculuk eder gibi uzayın en uzak noktalarına neredeyse anında ulaşmasını sağlıyor. Uzaktan etki ışıktan hızlı iletişim gerektiriyorsa bunun sebebi solucandelikleri mi, bilemeyiz. Yine de sicim teorisi Renou deneyinin sonuçlarından birini kendine göre açıklıyor. Sicim teorisi evrenin aslında 10 uzay boyutu içerdiğini de söylüyor! Sicim teorisi ve varyasyonları büyük olasılıkla doğru değil.

Bu kuramdaki 10 uzay boyutu ile yaşadığımız evrenin çok boyutlu bir klasik fizik evreninin kuantum projeksiyonu olduğu varsayımı da aynı şey değil. Yine de bu teorinin Renou ve ekibinin öngörülerine benzer öngörülerde bulunması çok ilginç. Neden derseniz genel görelilik teorisiyle açıklayalım:

Evrenleri birbirine dönüştürmek

Yerçekimini açıklayan genel görelilikte düz Öklit geometrisini eğri Riemann geometrisine Lorentz denklemleriyle dönüştürüyoruz. Kısacası bir evreni başka evrenden türetmeye alışığız. Bu durumda yaşadığımız kuantum evren de klasik fizik evreninden türemiş olabilir. Bunun evren bir simülasyon mu tartışmalarını da canlandıracağından eminim ama hatırlıyor musunuz? Geçen yazıda kuantum mekaniği yorumlarından söz etmiştim. Mesela Kopenhag yorumu taraftarları bunun hakkında ne düşünür?

İlgili yazı: İnternetinizi Uçuracak En İyi 10 Modem

 

Karmaşık sayılar için şimdilik sonsöz

Kopenhag yorumuna katılan sus ve hesapla kampındansanız evrenin metafiziğinin ne olduğu önemsizdir. Siz sadece görebildiğiniz kuantum fiziğiyle ilgilenirsiniz. Bu evren bir klasik fizik evreninden türemiş olsa da bunu ölçemeyeceğiniz evrenin nasıl türediği sizi ilgilendirmez. Dolayısıyla karmaşık sayıların gerçek olup olmadığını sormaya ne gerek var deyip geçersiniz.

Öte yandan kuantum mekaniğinin eksik olduğunu düşünüyorsanız (bence de eksik) ama kuantum mekaniğinin karmaşık sayılarla işleyen yerel olmayan bir teori olduğu için eksik olduğunu düşünüyorsanız (bu yüzden eksik olduğuna katılmıyorum) örsle çekiç arasında sıkıştınız demektir. 😉

1) Karmaşık sayılar gerçektir ve kuantum evren “altta yatan” başka bir klasik evrenin türevidir derseniz kuantum mekaniğinin altında klasik fizik yattığını söyleyen gizli değişkenler hayaliniz gerçek olur. Oysa yerel gizli değişkenler yine olmayacaktır. Tersine bu evreni başka evrenden türettiğiniz için kuantum mekaniği daha da yerel olmayan bir teoriye dönüşecektir. 2) Deney karmaşık sayıların gerçek olmadığını gösterirse klasik fizik sevdanız yine yalan olur. 😀

Üstelik karmaşık sayılar kuantum mekaniğinde gerçek değilse bu ne klasik ne kuantum olan yepyeni bir fizik olduğunu gösterir. Çok heyecan verici. Oysa bu durumda evrenin nasıl oluştuğunu açıklamak için yepyeni bir fizik geliştirmek gerekecektir. Neyse ki ne Kopenhag yorumuna katılıyorum ne de klasik fizik sevdalısıyım. Bir üstün belirlenimci (süper determinist) olarak deneyde karmaşık sayıların gerçek çıkmasını istiyorum. Bu hem holografik evren teorisine dolaylı kanıt olacak hem de üstün belirlenimci yorumu klasik fiziğe tabi metafizik evren teorisiyle (?) destekleyecektir.

Siz hangi evreni tercih edersiniz?

Bu konuya yeni gelişmelerle geri döneceğimize eminim. Siz de evrende yıldız oluşum hızı neden azalıyor diye sorabilir ve karanlık madde parçacıklarına bakabilirsiniz. Dünya benzeri gezegenlerin evrende ne kadar yaygın olduğunu inceleyip Riemann hipoteziyle asal sayı şifrelemesini merak edebilirsiniz. Hızınızı alamayarak aşağıdaki Starbasekozan videosunu da izleyebilirsiniz. Sağlıcakla ve bilimle kalın.

En uzak galaksi ne kadar uzak?

¹Quantum physics needs complex numbers