Dört Boyutlu Madde Bulundu: Zaman Kristalleri

Fizikçiler bir anlamda zamanı dondurdu ve laboratuarda zaman kristalleri üretti. 4B madde olan zaman kristalleri oda sıcaklığında çalışan süperiletkenler ve optik kuantum bilgisayarlar geliştirmekte kullanılacak. Fizikte kuantum kütleçekim kuramı geliştirip kara delikleri açıklamak da mümkün olacak.

Zaman kristalleri nedir?

Evren’de iki tür 4 boyutlu madde var: Dört boyutlu uzayda var olan hiperküp gibi şekiller ve yaşadığımız 3B uzayda zaman boyutuyla birlikte oluşan zaman kristalleri. Zaman kristalleri aslında zamanda tek yönde periyodik hareketler yapan normal madde atomlarından oluşuyor. Nasıl derseniz:

Maddeyi oluşturan atomlar uzayda sadece tek yönde simetrik olarak dizildiğinde, kuvars ve buz kristalleri gibi düzenli yapılar oluşuyor. Böylece Meksika’nın Naica Mine bölgesinin altında yer alan Dev Kristal Mağarası gibi yer şekilleri ortaya çıkıyor.

Buna karşın, maddeyi oluşturan atomlar zamanda tek yönde simetrik olunca, yani ortamdan enerji çekmeden, kendiliğinden düzenli (periyodik) hareketler yapınca zaman kristalleri meydana geliyor. Elbette atomların enerji harcamadan sonsuza dek titremesi termodinamik yasalarına aykırı.

Ancak, atomları mutlak sıfıra kadar soğutunca zaman kristalleri yapmanın bir yolu var ve fizikçiler zaman kristallerini 2017 Ocak ayında bu yöntemle ürettiler. Şimdi de laboratuarda kuantum fiziğini zaman kristalleriyle açıklamaya çalışıyorlar.

 

Ne işe yarayacak?

Zaman kristalleri ile yepyeni bir bilim dalı açıldı ve fiziği zaman kristalleriyle açıklamak konusunda daha işin başındayız; ancak elektronik saatleri çalıştıran kuvars kristallerini zaman kristallerinin davranışlarına örnek gösterebiliriz.

Kristalleri oluşturan atomlar yalnızca belli bir yönde titrediği için neredeyse kesin periyodik hareketler yapıyor ve son derece dakik oluyor. Bu da zamanı kuvars kristalleriyle doğru ölçmemizi sağlıyor. Bu teknolojiyi 1970’lerden beri kol saatlerinde kullanıyoruz.

Aslında zaman kristalleri pek çok teknolojinin çalışma prensiplerini atom ölçeğinde açıklamakta kullanılabilir.

İlgili yazı: Bilim İnsanları DNA Üzerine Veri Depoladı

 

Mesela gitar teli

Zaman kristali mantığına günlük hayattan birçok örnek verebiliriz: Canlı konserde akustik gitar çalarken titreyen gitar telleri, müzik stüdyosunda sarkaç hareketi yapan metronomlar ve bizzat sarkaçlı saatleri çalıştıran ağırlıklar periyodik hareketler yapıyor.

Yeni teoriye göre bütün bunları zaman kristalleriyle, yani zamanda simetri kırılmasıyla açıklamak mümkün. Ancak önemli bir nokta var: Zaman kristalleri sadece mikroskobik kuantum dünyasında ortaya çıkıyor.

Her ne kadar zamanda periyodik hareketler yapan tüm cisimleri yeni teoriye göre 4B madde olarak sınıflandırsak da Evren’de makroskobik boyutta zaman kristali yok; çünkü kuantum fiziği sadece atom boyunda ve daha küçük ölçeklerde geçerli. Yazıyı okurken bunu akılda tutmamız gerekiyor.

İlgili yazı: İnternetinizi Uçuracak En İyi 10 Modem

 

Zaman kristallerini kim buldu?

Zaman kristallerini Nobel ödüllü teorik fizikçi Frank Wilczek 2012 yılında ortaya attı. Wilczek üç boyutlu uzaya zamanı eklediğimizde Evren’in 4B olarak tanımlandığını biliyordu. Böylece zaman içinde hiç enerji harcamadan periyodik hareketler yapan atomları 4B madde olarak sınıflandırdı.

Sonra California Üniversitesi, Berkeley’den Norman Yao laboratuarda zaman kristalleri oluşturmak için özel bir yöntem geliştirdi.¹ Ben de bu haberi Popular Science Türkiye Kasım 2016 sayısında Karanlık Foton ve Zaman Kristalleri başlığıyla yazdım.

Ardından, Maryland ve Harvard Üniversitesi’nden araştırmacılar Yao’nun yöntemini kullanarak dünyanın ilk zaman kristallerini ürettiler.

İlgili yazı: Kuantum Bilinç: İnsan Beyni Kuantum Bilgisayar mı?

 

Peki bu buluş ne işe yarayacak?

Zaman kristalleri fizikçilerin bugüne dek çözemedikleri büyük bilimsel soruları yanıtlamasını sağlayacak. Birkaç örnek verecek olursak:

• Evren’i doğuran büyük patlama nasıl oluştu?
• Büyük patlamadan önce ne vardı?
• Kara deliklerin merkezindeki tekillik nedir?
• Atom dünyasını açıklayan kuantum fiziği ile astronomik mesafeleri açıklayan görelilik teorisini nasıl birleştiririz?
• Oda sıcaklığında çalışan süperiletkenlerle nasıl uçan araba yaparız?
• Uzay boşluğundan bedava enerji çıkarmak mümkün mü?
• Devridaim makinesi yapabilir miyiz?
• Kuantum fiziğinde Heisenberg’in belirsizlik ilkesi neden var ve parçacıklar neden hem tanecik hem dalga özelliği gösteriyor?
• Neden mutlak sıfırın altına inmeye kalktığımız zaman atomlar daha fazla soğumak yerine ısınmaya başlıyor?

 

Süperiletkenler ve 4B madde

Bilim insanları bu soruları zaman kristalleriyle cevaplamak için işe süperiletkenlerle başladılar; çünkü süperiletken metaller makroskobik cisimler olmasına karşın kuantum fiziği sayesinde süperiletkenlik özelliğini kazanıyordu.

Süperiletkenler elektriği hiçbir direnç göstermeden iletiyor. Bu yüzden çok az elektrik üreterek ve hemen hiç ısınma sorunuyla karşılaşmadan metalleri manyetik alan yastıkları üzerinde yüzdürmemizi sağlıyor. Bu sayede metalik yollardaki yatay manyetik alanlar üzerinde uçan otomobiller üretebiliriz.

İlgili yazı: İnternette teknik takip ve gözetimi önleme rehberi

 

Mutlak sıfır

Sıradan metallerin süperiletken olması için neredeyse mutlak sıfıra kadar soğutulması gerekiyor. Örneğin sıradan bir bakır telini süperiletken hale getirmek için bakır atomlarını hemen hiç hareket etmeyecekleri kadar soğutmamız gerekiyor.

Böylece dış dünyanın etkisi yok oluyor ve atomlar sadece kuantum fiziğindeki belirsizlik ilkesine göre titremeye başlıyor. Bu da atomları dolanıklığa sokmamızı kolaylaştırıyor:

Sonuçta mutlak sıfıra kadar soğutulan bakır atomlarının çevresinde en dış yörüngede dönen bütün elektronlar tek bir elektron bulutu halinde hareket ediyor. Böylece bakır tel elektriği hiç direnç göstermeden, yani elektrik enerjisini ısınarak ziyan etmeden iletiyor.

İlgili yazı: NASA Astronotları AstroRad Radyasyon Zırhı ile Koruyacak

 

Uçan trenler

Biz de süperiletken elektromıknatıslar kullanarak çok güçlü manyetik alanlar üretiyor ve Gerçeğe Çağrı filmindeki uçan arabalarda olduğu gibi, manyetik alanların üzerinde yüzen toplu taşıma araçları geliştirebiliyoruz.

Japonya’nın manyetik alanlar üzerinde giden hava yastıklı deneysel trenlerini buna örnek gösterebiliriz. Bu trenler sürtünmeye yol açan tekerlekler kullanmadığı için saatte 500 km hıza ulaşıyor. Ancak rayları -272 dereceye kadar soğutmak çok pahalı bir işlem.

Fizikçiler zaman kristallerini kullanarak oda sıcaklığında çalışan süperiletkenler üretmek istiyor. Ancak, bu zaman kristallerinin potansiyel kullanım alanlarından sadece biri. Bir de kuantum ışınlama var.

Gerçeğe Çağrı uçan araba sahnesi

 

Işınla beni Scotty!

Kuantum ışınlamada gazları mutlak sıfıra kadar soğutarak Bose-Einstein yoğuşması elde ediyoruz. Bu teknikle binlerce rubidyum atomunun aşırı soğukta çok az ve düzenli hareket ederek tek bir atom gibi davranmasını sağlayabiliyoruz.

Böylece büyük atom kümelerini başka bir atomla dolanıklığa sokup kuantum ışınlama gerçekleştiriyoruz. Kısacası mikroskobik ölçekte geçerli olan kuantum dünyasının gözle görülen dünyayı etkilemesini sağlıyoruz.

İlgili yazı: Gerçek Jurassic Park: Mamut ve Dinozorlar Klonlanacak

 

Kuantum bilgisayarlar

Kuantum fiziğinin gözle görülür Dünya’yı etkilemesini sağlamak bizim için çok önemli; çünkü bu sayede internetteki tüm şifreleri kıracak kuantum bilgisayarlar geliştirebiliriz. Bunların çalışması için atomları dolanıklığa sokmamız ve tek tek atomları paralel bilgisayar işlemcisine dönüştürmemiz gerekiyor.

Atoma veri kaydeden sabit disk sürücüleri geliştirmek ve DNA’ya veri kaydederek insan vücudunu organik süper bilgisayara dönüştürmek için kuantum dolanıklığı daha iyi anlamamız şart ve bütün bunları gerçekleştirmek için zaman kristallerini kullanmayı planlıyoruz.

İlgili yazı: Dünya’ya En Çok Benzeyen Gezegen Bulundu

 

Mutlak sıfırın altı

Bütün bunlar güzel planlar ancak büyük bir sorunumuz var: Süperiletkenlerin nasıl çalıştığını bilmemize rağmen, buna imkan veren kuantum fiziğinin nasıl çalıştığını bilmiyoruz.

Kuantum fiziğini deney ve gözlemlerle kanıtlamış olmamıza rağmen dolanıklık ve belirsizlik ilkesi gibi temel kuantum özelliklerinin nasıl ortaya çıktığı hakkında kesin bir fikrimiz yok.

Oysa maddeyi mutlak sıfırın altına inecek kadar soğutmaya çalışmak ve bu sırada zaman kristalleri oluşturmak bütün bu soruları cevaplamamızı sağlayabilir. Peki mutlak sıfırın altına inebilir miyiz?

İlgili yazı: 18 Ayda Nasıl 24 Kilo Verdim?

 

Termodinamik termometre

Evren’de ısının sıcaktan soğuğa akmasının tek bir sebebi var. Yaşadığımız evrende sıcak cisimlerin sayısı soğuk cisimlerin sayısından fazla; çünkü -270 derece olan uzay boşluğu -273 derece olan mutlak soğuktan daha sıcak.

Öte yandan, uzaydaki soğuk cisimlerin sayısı sıcak cisimlerden fazla olsaydı ısı soğuktan sıcağa akardı. Bu yüzden bir cismi mutlak sıfırın altına düşürmeye kalktığımız zaman çok ilginç bir durumla karşılaşıyoruz:

Mutlak sıfır Evren’deki en düşük enerji düzeyine karşılık geliyor; ama uzay boşluğunun bile minimum bir enerji değeri var. Evren’de en düşük enerji sıfıra eşit değil, sıfırın biraz üstünde ve bu değeri boşluğun enerjisi belirliyor.

Bu nedenle atomları mutlak sıfırın altında soğutamıyoruz. Kuantum fiziğindeki belirsizlik ilkesi yüzünden sistemde her şey ters dönüyor. Biz sistemden daha fazla enerji çekip atomları soğutmaya kalktığımızda, atomlar tersine davranış sergileyerek dışarıdan enerji çekiyor ve ısınmaya başlıyor!

İlgili yazı: Atoma Veri Kaydeden Hard Disk

 

Termodinamik ve zaman kristalleri

Zaman kristali teorisine göre bu olayın tek bir sebebi var: Zamanın ileri akması. Aslında 18 yy’da keşfettiğimiz termodinamik yasaları da bunu söylüyor. Ancak, zaman kristalleri teorisi termodinamik yasaları ile kuantum fiziğini birleştiriyor.

Bugüne kadar matematik formülleri kullanarak kuantum dünyasını termodinamikten türetmeye çalıştık. Ancak birçok nokta eksik kaldı. Zaman kristalleri ise iki teoriyle tümüyle birleştirmemizi sağlayabilir. Hatta zaman kristallerini laboratuarda test ederek yeni birleşik yasayı ispat edebiliriz! Ancak bunun için fizik yasalarının simetrik olmasına kısaca değinmemiz gerekiyor:

Kuantum fiziğinde klonlama yasak ve zaman yolculuğu yazılarında belirttiğim gibi, fizik yasaları uzayda simetrik olmak zorunda. Yoksa yerçekimi ve diğer fizik kuvvetleri Evren’in her yerinde geçerli olmazdı ve kozmolojik sabitler var olmadığı için biz de bilim yapamazdık (Örneğin, Mars’ta yerçekimi sabiti Dünya’dan farklı olsa Mars gezegeni Güneş’in çevresinde dönemezdi ve biz de gezegenlerin nasıl döndüğünü açıklayamazdık).

Simetri kırılması

Oysa fizik yasaları hem uzayda hem de zamanda simetrik; yani zaman geriye aksa da bu yasalar aynen geçerli olurdu. Buna karşın Evren’de zamanın sadece ileri aktığını biliyoruz. Nasıl ki yere düşüp kırılan yumurta kendiliğinden birleşip masaya geri konmuyor, biz de zamanı film gibi geri saramıyoruz. Peki bunu zaman kristalleriyle nasıl açıklarız?

İlgili yazı: Kontrollü Güç >> Telefon pil ömrünü uzatmak için en çarpıcı 5 yöntem

 

Uzay boşluğunun enerjisi

Evren’de maddenin en düşük enerji düzeyine taban hali diyoruz. Taban halindeki maddeyi oluşturan atomların düşük enerjide hemen hiç hareket etmemesi gerekiyor. Ancak, Evren’in minimum enerjisi sıfırdan büyük olduğu için uzay boşluğunun da minimum pozitif enerjisi bulunuyor ve bunu sahte vakum olarak tanımlıyoruz.

Oysa zaman kristalleri varsa mutlak sıfıra yaklaşan ve böylece kuantum belirsizlikleri dışında titreşimleri sıfıra inen atomların aniden enerji kazanarak ısınması mümkün olacaktır. Ardından atomlar çevreye ısı verip soğuyacak ve tekrar mutlak sıfıra yaklaşacak. Bu süreç kendiliğinden tekrarlanacak.

İlgili yazı: Karanlık Enerji: Yoksa Evren Genişlemiyor mu?

 

Devridaim makinesi

Elbette mutlak sıfıra soğutulan cisimlerin kendiliğinden ısınması, bizim hiç yakıt kullanmayan ve enerji kaybetmeden sonsuza dek çalışan devridaim makinesi yapmamıza izin vermiyor; çünkü Evren’deki minimum enerji sıfıra eşit değil.

Bu yüzden, zaman kristali oluşturmak için atomları ilk başta dışarıdan enerji vererek soğutmamız ve sonra az ısıtarak yeniden titretmemiz gerekiyor. Tıpkı benzinli motorların içindeki benzini bujilerin sağladığı elektrik kıvılcımıyla yakıp arabayı çalıştırmak gibi. 😉

Frank Wilczek’in teorik zaman kristalleri termodinamik yasalarına (enerjinin korunumuna ve yoktan enerji yaratılamayacağına) aykırıydı. Ancak, yılbaşında laboratuarda yukarıdaki yöntemle fizik yasalarına uygun zaman kristalleri oluşturduk.

İlgili yazı: Mobil İnternette Video İzleme Rehberi

 

Para dik geldi, ben gidiyorum!

Şimdi zaman kristalleri; yani maddenin 4B hali gerçekten makroskobik ölçüde var olsaydı fizik yasalarının nasıl bozulacağına bakalım ve buna Kemal Sunal’ın Korkusuz Korkak filminden örnek verelim:

Filmde Kemal Sunal’ın düşmanları onu kimin öldüreceği konusunda anlaşamıyor. Sunal da yazı tura atıyor ve diyor ki “Yazı gelirse beni bu grup alır, tura gelirse kiralık katil alır”. Ancak tesadüf bu ya, para dik geliyor ve Kemal Sunal haydi bana eyvallah deyip kaçıyor. J

Bu sahne kuantum fiziğine uygun; çünkü bozuk paranın iki yüzü var. Para ya yazı gelecek ya da tura gelecek.

Bozuk paranın dik gelme ihtimali çok düşük. Bu yüzden yazı-tura olasılığı yüzde 50 diyebiliriz. Oysa zaman kristalleri gözle görülür dünyada var olsaydı; parayı bir kez havaya atınca tura gelme ihtimali yüzde 70 ve ikinci kez atınca yüzde 33 olabilecekti. Üstelik bu ihtimaller rastlantısal olarak değişecekti!

Buna rağmen, kuantum fiziğinin geçerli olduğu mikroskobik dünyanın Schrödinger’in kedisi, süperiletkenler, kuantum ışınlama ve Bose-Einstein yoğuşması gibi özel durumlarda makroskobik dünyayı etkileyebildiğini biliyoruz. Özellikle de kuantum bilgisayar geliştirmek üzere zaman kristallerini araştırıyoruz; ama bunun için laboratuarda nasıl zaman kristali ürettiğimize bakmak gerekiyor.

İlgili yazı: Her Kara Delikte Başka Evren Var

 

İterbiyum atomları

Maryland ve Harvard Üniversitesi araştırmacıları zaman kristali oluşturmak için iterbiyum atomlarını kullandılar.

Aslında atom çekirdeğindeki pozitif yüklü proton sayısından 1 eksik sayıda elektron içeren iterbiyum iyonlarından yararlandılar (pozitif yüklü atomlar). Ayrıca deneyde kullanılan 10 atomu mutlak sıfıra yaklaşana kadar soğutup tek atom gibi davranmasını sağladılar ve sahip oldukları elektronları dolanıklığa soktular.

İlgili yazı: Yoksa Evren Topaç Gibi Dönüyor mu?

 

Elektron spini

Kuantum fiziğinde elektronların yarım spini var; yani ya sağa ya da sola dönüyorlar ve dolanıklık özelliği uyarınca, bir elektronu sağa döndürdüğünüz zaman diğer dolanık elektronlar da hemen sola dönüyor (buna spin yukarı ve spin aşağı kuantum durumları diyoruz).

Fizikçiler iterbiyum atom bulutunu lazer ışınlarıyla bombaladılar ve lazer ışınlarını oluşturan fotonların deneydeki atomların enerjisini çalıp onları momentum aktarımı yoluyla küçük bir hacme sıkıştırmasını sağladılar. Böylece mutlak sıfıra yaklaşan süper soğuk ve yoğun bir atom paketi oluşturdular.

Ardından elektronların spinini kıvılcım gibi çakan, yani hızla yanıp sönen lazer ışınlarıyla sürekli olarak değiştirdiler (elektronların sağa dönmesi için sağdan gelen lazer ve sola dönmesi için de soldan gelen lazer kullandılar).

Ancak, atomların elektron spinlerinin lazer ışınlarının çakma hızından farklı bir hızda değiştiğini fark ettiler! Klasik fiziğe ve kuantum fiziğine göre spinler lazer ışınlarıyla aynı frekansta değişmeliydi. Oysa elektronların sağa-sola dönme hızı frekansın yarısına eşitti.

Bunu ancak zamanda tek yönde hareket eden zaman kristalleriyle; yani maddenin 4B haliyle açıklayabilirdik. Peki zaman kristalleri teorik fizik için ne anlama geliyor?

İlgili yazı: Işınla Beni Scotty! >> İnsan ışınlama ne zaman?

 

Her şeyin teorisi

Bilim insanları kuantum fiziği ile yerçekimini birleştirmek istiyor. Aynı zamanda maddenin neden hem parçacık hem dalga olarak davrandığını, neden kuantum fiziğinde Heisenberg’in belirsizlik ilkesine bağlı tesadüfler olduğunu, neden antimaddenin matematiksel olarak zamanda geri giden normal madde şeklinde tanımlanabileceğini bilmek istiyor.

Zaman kristalleri ile bütün bunları açıklayabilirler: İterbiyum atomları lazer ışınlarıyla aynı frekansta salınmıyorsa zamanda simetrik olmayan hareketler yapıyor demektir; yani dışarıdan aldığı enerjiden daha düşük bir enerjiyle titreşiyorlar.

Bu anlamda zaman kristalleri zamanda simetri kırılmasına yol açıyor ve Evren’de sadece zamanda ileri akan hareketlere izin veriyor. Belki de elektronlar işte bu yüzden bizim bakış açımıza göre bize ya parçacık ya da dalga olarak görünüyor.

Belki de Heisenberg’in belirsizlik ilkesi uyarınca atomların rastgele hareket etmesi de zamandaki simetri kırılımından kaynaklanıyor. Kısacası zaman kristalleri kuantum fiziğinde simetri kırılmasına yol açıyor. Bu da bizi kuantum bilgisayarlar ve her şeyin teorisine getiriyor. Önce kuantum bilgisayarlara bakalım:

İlgili yazı: Zaman Neden Geleceğe Akıyor?

 

Geleceğin süper bilgisayarları

Dijital dünyanın artan bilgi-işlem ihtiyacını karşılamak için mikroskobik kristal prizmalar ve lazer ışınlarıyla çalışan süper hızlı optik kuantum bilgisayar geliştirmek istiyoruz.

Mademki zaman kristalleri yüzünden saniyede 6 kez uyardığımız bir atom saniyede sadece 3 kez salınım yapıyor; öyleyse biz de bu tür indirgemeli dönüşümleri kuantum mantık kapısı olarak kullanabilir ve laptop boyunda pratik kuantum bilgisayarlar üretebiliriz.

Ancak zaman kristalleriyle yapabileceğimiz çok daha önemli bir şey var: Kuantum fiziği ile görelilik teorisini birleştirerek her şeyin teorisini geliştirebilir ve tüm evreni tek bir fizik denklemiyle açıklayabiliriz.

Zaman kristalleri uzay-zaman simetrisini kırdığı için, uzaydaki maddenin sonsuz küçüklükte bir noktaya sıkışmasını engelleyebilir ve dolayısıyla uzayda yerçekiminin sonsuz yoğunluğa eriştiği tekillikler oluşmasını önleyebilir.

İlgili yazı: Çoklu Evren: En Yakın Komşu Evren Nerede?

 

Kara delikler

Bu durumda büyük patlama anındaki ilkin tekillik ile kara deliklerin merkezindeki tekillikler gerçek değil de sadece yaklaşık tekillikler olabilir. Yerçekiminin sonsuza yaklaştığı, ama asla sonsuza erişmediği tekillikler varsa bundan yararlanabilir ve Einstein’ın görelilik teorisini kuantum fiziğiyle birleştirebiliriz.

Ne de olsa görelilik teorisi sonsuz yerçekiminde hata veriyor ve tekillikler de mikroskobik olduğu için kuantum fiziğinin alanına giriyor. Ancak, tekillikte yerçekimi sonsuza erişmiyorsa görelilik teorisini çökertmeden kuantum ölçeğinde açıklamak mümkün olabilir.

İlgili yazı: Evren İçi Boş Bir Hologram mı?

 

Kuantum kütleçekim

Böylece nihayet tam kapsamlı bir kuantum kütleçekim kuramı geliştirerek Evren’in sırlarını aydınlatabiliriz. Örneğin, zaman kristalleri büyük patlamaya neyin yol açtığını ve büyük patlamadan önce ne olduğunu bize gösterebilir.

Nitekim Evren’de uzay-zamanın büyük patlama anında oluştuğunu biliyoruz. Buna karşın büyük patlamaya da ondan önce gelen fizik yasalarının yol açmış olması gerekiyor. Peki yaşadığımız evrenin fizik yasaları büyük patlamayla oluştuysa büyük patlamaya ne sebep oldu?

Yoksa içinde bulunduğumuz evreninin fizik yasalarını başka evrendeki bir yapay zeka keyfi olarak mı belirledi? Bu durumda yaşadığımız evren bir bilgisayar simülasyonu olabilir mi? Gerçeği bilmek için dört boyutlu hiperküpten yola çıkarak zaman kristallerinin sırlarını çözmemiz gerekiyor.

Nobel ödüllü fizikçi zaman kristallerini anlatıyor

¹Discrete Time Crystals: Rigidity, Criticality, and Realizations
²https://arxiv.org/pdf/1610.08057v1.pdf
³https://arxiv.org/pdf/1609.08684v1.pdf